使用动态规划解决 0/1 背包问题

1. 背景

背包问题是计算机科学和优化领域中的经典问题之一，它被广泛应用于资源分配、任务调度等问题。在最简单的形式下，0/1背包问题描述的是：

你有一个背包，能够容纳一定的重量，而你有若干个物品，每个物品都有一个重量和价值，问你应该如何选择物品，使得在不超过背包容量的前提下，背包中的物品总价值最大。

2. 问题描述

输入：

• 背包的最大承载重量：W
• 一组物品，每个物品有两个属性：重量 w_i 和价值 v_i，共有 n 个物品。

输出：

• 背包中能装入的最大价值。

例子：

假设背包的容量为 W = 5，你有 3 个物品，它们的重量和价值如下：

物品编号	重量	价值
物品 1	2	3
物品 2	3	4
物品 3	4	5

求背包能容纳的最大价值是多少。

3. 思路分析

3.1. 暴力法

暴力法就是穷举所有可能的物品选择组合，对于每种组合计算其总重量和总价值。如果组合的总重量不超过背包的容量，则更新当前的最大价值。

然而，暴力法的时间复杂度是