数据结构（八）——查找

一、查找

1.查找：在数据集合中，寻找某种满足条件的数据元素的过程

2.查找表（查找结构）：用于查找的数据集合

3.关键字：数据元素中某个数据项的值，用它可以标识一个数据元素

主关键字：关键字可以唯一地标识一个记录

4.平均查找长度：所有查找过程中进行关键字的比较次数的平均值

Pi为概率，Ci为第i个元素所需要的比较次数

二、顺序查找

基本思想：从线性表的一端开始，逐个检查关键字是否满足给定的条件。若查找到某个
元素的关键字满足条件，则查找成功，返回该元素在线性表中的位置。若查查找到表的另一端，仍未找到符合给定条件的元素，则返回查找失败的信息

注意：对于线性链表只能进行顺序查找

eg：

答案：C

解释：

三、折半查找（二分查找）

仅适用于有序的顺序表

代码：

int Binary_Search(Seqlist L,ElemType key){int low = 0,high = L.TableLen-1,mid;while(low<=high){mid = (low + high)/2;if(L.ekem[mid] == key)return mid;else if(L.elem[mid]>key)high = mid - 1;elselow = mid + 1;}
}

查找成功的平均查找长度

折半查找的时间复杂度为

eg：

答案：A

答案：2

四、散列表

1.散列函数：Hash(key) = Addr

同义词：散列函数可能会把两个或两个以上的不同关键字映射到同一地址

（1）直接定址法：H(key) = key  H(key)=a*key+b
（2）除留余数法： m   取一个不大于但最接近或等于m的质数p   H(key)= key%p                  （3）数字分析法                                                                                                                        （4）平方取中法

2.解决冲突的方法：

（1）开放地址法：可存放新表项的空闲地址既向它的同义词表项开放，又向它的非同义词表项开放。其数学递推公式为 Hi = (H(key) + di) %m

①★线性探测法： di = 0,1,2,3,...,m-1

②平方探测法：di = 0^2,1^2,-1^2,2^2,-2^2,...,k^2,-k^2  (k<=m/2)

③再散列法：di = Hash2(key)

eg:关键字序列为{19,14,23,01,68,20,84,27,55,11,10,79},按散列函数H(key) = key%13 和线性探测处理冲突构造散列表，其中散列表长度为16

解析：①列出表格，从0开始，长度为16

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
关键字
比较次数

 

② 关键字序列中元素依次进行 key%13

第一个为19，H(19) = 19%13 = 6，将19填在6下方，比较次数为1次

第二个为14，H(14) = 14%13  = 1，将14填在1下方，比较次数为1次

第三个为23，H(23) = 23%13  = 10，将23填在10下方，比较次数为1次

第四个为01，H(01) = 01%13  = 1，将01填在1下方，但是14已经填在了1下方，产生了冲突，题干告知通过线性探测处理冲突，Hi = (H(key) +di)%m，di = 0,1,2,...,m-1。所以H(01) = (01+1)%13=2,所以将01填在2下方，比较次数为2次

第五个为68，H(68) = 68%13  = 3，将68填在3下方，比较次数为1次

第六个为20，H(20) = 20%13  = 7，将20填在7下方，比较次数为1次

第七个为84，H(84) = 84%13  = 6，将68填在6下方，但是19已经填在了6下方，产生了冲突，题干告知通过线性探测处理冲突，Hi = (H(key) +di)%m，di = 0,1,2,...,m-1。所以H(84) = (84+1)%13=7,所以将84填在7下方，此时比较2次，但是20以及填在了7下方，产生了冲突，H(84) = (84+2)%13=2,所以将84填在8下方，比较次数为3次

......

以此类推，得到下表

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
关键字		14	01	68	27	55	19	20	84	79	23	11	10
比较次数		1	2	1	4	3	1	1	3	9	1	1	3

查找成功的平均查找长度为： （这里的查找次数就是比较次数）        所以 (1+2+1+4+3+1+1+3+9+1+1+3)/12 = 2.5

查找不成功的平均查找长度为：（这里的查找次数不是比较次数，散列后的地址个数是取余的值，例如本题为13）

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
关键字		14	01	68	27	55	19	20	84	79	23	11	10
比较次数		1	2	1	4	3	1	1	3	9	1	1	3

0位置为空，查找失败，次数为1；1位置查找成功，则计算从1开始到下一个为空位置的距离，1到13的距离为13（这里要加上第13个位置所以是12+1=13）；同理，2位置为12，3位置为11,...,12位置为2。     

所以（1+13+12+11+10++9+8+7+6+5+4+3+2）/13 = 7

查找失败的平均查找长度是通过计算每个位置查找失败的次数，然后将所有位置的查找失败次数相加，再除以散列表的长度得到的，对于每个位置，计算查找失败的次数，这通常涉及到从假定存在的位置开始查找

（2）拉链法：为了避免非同义词发生冲突，把所有的同义词存储在一个线性链表中

eg：关键词序列为{19，14，23，01，68，20，84，27，55，11，10，79}，散列函数为H(key) =key%13，用拉链法解决冲突

解析：①取余计算

H(19)=19%13
H(14)=14%13 =1
H(23)=23%13=10
H(01)=01%13=1
H(68)=68%13=3
H(20)=20%13=7
H(84)=84%13=6
H(27)=27%13=1
H(55)=55%13=3
H(11)=11%13=11
H(10)=10%13=10
H(79)=79%13 =1

②放入线性表中，相同结果的往后放

查找成功的平均查找长度为：

查找1次：5个；查找两次：4个；查找三次：1个；查找四次：1个；

所以  （1*6+2*4+3*1+4*1）/12 = 1.75

查找不成功的平均查找长度为：

查找1次不成功：7个；查找2次不成功：2个；查找3次不成功：3个；查找4次不成功：无；查找5次不成功：1个；

所以 （1*7+2*2+3*3+4*0+5*1）/13 = 25/13

散列表的查找长度取决于三个因素：散列函数、处理冲突的方法和装填因子

装填因子α = 表中记录数n / 散列表长度m

散列表的平均查找长度依赖于散列表的装填因子α，不直接依赖于n或m

α越大，表示装填的记录越“满”，发生冲突的可能性就越大

五、习题

答案：D

答案：A

解析：表中共 10个元素，第一次取[(1+10)/2]=5 (向下取整)，与第5个元素 20比较，58>20，在右子表(30,50,70,88,100}中进行査找;对于右子表{30,50,70,88,100},取[(6+10)/2]=8,与第8个元素 70 比较,58<70，在左子表{30,50}中进行査找;对于左子表{30,50}，取[(6+7)/2]=6，与第6个元素 30 比较，58>30，在右子表{50}中进行査找;对于右子表{50}，取[(7+7)/2]=7，与第7个元素 50 比较，58>50，所以最终查找失败。在查找过程中，依次与表中20、70、30、50进行了比较，因此答案选择 A。

答案：A

解析:此题考查的知识点是折半査找的思想。把关键字按完全二叉树的形式画出查找树,按结点!高度计算比较次数。12个结点可以画出高度为4的完全二又树,1层1个结点比较1次,2层2个结点比较2次,3层4个结点比较3次,4层5个结点比较4次,（1*1+2*2+3*4+4*5）/12≈3.1 

答案：B

答案：C