欧拉计划 Project Euler 71（有序分数）题解

题干

有序分数

考虑形如$\frac{n}{d}$的分数，其中$n$和$d$均为正整数。如果$n<d$且其最大公约数为1，则称该分数为最简真分数。
将所有$d\le 8$的最简真分数构成的集合按大小升序排列：
$$\frac{1}{8},\frac{1}{7},\frac{1}{6},\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{2}{7},\frac{1}{3},\frac{3}{8},\frac{2}{5},\frac{3}{7},\frac{1}{2},\frac{4}{7},\frac{3}{5},\frac{5}{8},\frac{2}{3},\frac{5}{7},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{5}{6},\frac{6}{7},\frac{7}{8}$$
可以看出$\frac{2}{5}$是$3/7$直接左邻的分数。
将所有的$d\le 1000000$的最简真分数按大小升序排列，求此时$\frac{3}{7}$直接左邻的分数的分子。

思路

很显然这是不能暴力构造的，因为数据太过庞大了。
我们可以枚举所有的$d\le 1000000$,对于每个$d$，令$d=floor(3\ast d-1)/7$,这样是为了确保$\frac{n}{d}<\frac{3}{7}$,然后检查$n$和$d$是否互质，维护目前最大的$\frac{n}{d}$即可

为什么可以这样 理论依据

对于每个分母$q$,我们只需要考虑一个分子$p$,即：
$$p=\lfloor \frac{a\cdot q-1}{b}\rfloor$$
这是保证$\frac{p}{q}<\frac{a}{b}$最大的那个$\frac{p}{q}$
为了进一步加速，我们可以从大到小便利分母，并尽早结束循环
定义：
$$\delta =a\cdot q-b\cdot p$$
若找到某个分数满足$\delta =1$那么这个分数已经是距离$\frac{a}{b}$最近的最简真分数，可立即停止，这里有理论依据支撑的

code

// --->428570 999997
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;using ll = long long;// 这段 lambda 内部的代码会在 main() 调用之前被执行。
int __OI_INIT__ = []() {ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);cout.tie(0);cout << fixed << setprecision(12); // 设置输出浮点数默认精度为 12 位。return 0;
}();// 用法
/*int a = 1;double k = 2.0;string s = "hello world";_(a, k, s);输出 --->1 2.000000000000 hello world
*/
template<class... Args> void _(Args... args) {auto _ = [&](auto x) { cout << x << " "; };cout << "--->";int arr[] = {(_(args), 0)...};cout << "\n";
}void solve() {const int li = 1000000;int bn = 0, bd = 1;for (int d = 1; d <= li; ++d) {int n = (3 * d - 1) / 7;if (__gcd(n, d) == 1) {if (static_cast<long long>(n) * bd > static_cast<long long>(bn) * d) {bn = n;bd = d;}}}_(bn, bd);}int main() {int tt = 1;// cin >> tt;while (tt--) {solve();}}