[数据结构高阶]并查集初识、手撕、可以解决哪类问题？

标题：[数据结构高阶]并查集初识、手撕、可以解决哪类问题？
@水墨不写bug

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一、认识并查集

一个考察队要去西部开发考察，这个考察队队员有10人，其中郑州4人，北京3人，西安3人。于是这三个城市的人由于生活习惯相似分别抱团，那么如何快速确定两个人是否属于同一个城市呢？并查集就可以。

并查集 ：本质是一个森林（包含多棵树）。并且与堆类似，用下标表示关系。使用双亲表示法（只存储双亲）。
如何用数据结构表示并查集？
用一个线性结构（数组）表示。每一个位置都初始化为-1，表示10棵树：

假如0，6，7，8是郑州人；1，4，9是北京人；2，3，5是西安人，那么通过树形结构表示（默认下标最小的0，1，2作为小队长- - -根节点）：

如果有新成员加入？
数组对应的队员的值存储的是队长的下标，队长的值的绝对值表示包括队长在内的小队成员个数。队长的值原来为-1，一个队员加入小队，队长的值+=队员的值（-1）|如果队员是队长，则+=（-m），然后队员的值修改为队长的值。

在线性的数组上，需要明确：

• 1.一个位置值是负数，那它就是数的根，这个负数的绝对值就是这棵树的数据个数。
• 2.一个位置值是正数，那这个位置存的是双亲的下标。

那么上图对应的线性结构是：

如果两队伍合并？
由于研究工作需要，北京人和郑州人需要合并，那么在数据结构上如何表示？
其实，把北京人合并入郑州，把郑州人合并入北京，没有本质区别。
假如把北京人合并入郑州，那么对应的树形结构变成：

那么对应的线性结构：

这就是并查集的加入一个成员，一个小队的操作。想要看两个队员是否在同一组，只需要不停找根，如果两个队员同根，那就在同一组。

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二、模拟实现并查集

并查集可以通过一个STL的vector维护，具体实现思路已经在上文有所体现，于是在这里直接给出实现：

#pragma once
#include<iostream>
#include<vector>
namespace ddsm
{class UnionFindSet{public://根据并查集规则，初始化为-1UnionFindSet(int size):_ufs(size,-1){}//把两个集合【队伍】合并void Union(int x1,int x2){int root1 = FindRoot(x1);int root2 = FindRoot(x2);if (root1 == root2)return;_ufs[root1] += _ufs[root2];_ufs[root2] = root1;}//找到一个元素所在的集合int FindRoot(int x){int parents = x;while (_ufs[parents] >= 0)parents = _ufs[parents];return parents;}//判断两个元素是否在同一个集合bool InSameSet(int x1, int x2){return FindRoot(x1) == FindRoot(x2);}//返回集合的个数size_t Size(){size_t size = 0;for (int i = 0; i < _ufs.size(); ++i){if (_ufs[i] < 0)size++;}return size;}private:std::vector<int> _ufs;};
};

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三、用并查集解决问题

通过以上例子可知，并查集一般可以解决一下问题：

1. 查找元素属于哪个集合 --沿着数组表示树形关系以上一直找到根(即：树中中元素为负数的位置)
2. 查看两个元素是否属于同一个集合 --沿着数组表示的树形关系往上一直找到树的根，如果根相同表明在同一个集合，否则不在。
3. 将两个集合归并成一个集合 --将两个集合中的元素合并将一个集合名称改成另一个集合的名称
4. 集合的个数 --遍历数组，数组中元素为负数的个数即为集合的个数。

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1、省份的数量

本题通过把同一省份的城市放在同一集合中，遍历所有城市链接情况，最后统计出省份（集合）的总数。


示例代码：

class UnionFindSet
{
public://根据并查集规则，初始化为-1UnionFindSet(int size):_ufs(size,-1){}//把两个集合【队伍】合并void Union(int x1,int x2){int root1 = FindRoot(x1);int root2 = FindRoot(x2);if (root1 == root2)return;_ufs[root1] += _ufs[root2];_ufs[root2] = root1;}//找到一个元素所在的集合int FindRoot(int x){int parents = x;while (_ufs[parents] >= 0)parents = _ufs[parents];return parents;}//判断两个元素是否在同一个集合bool InSameSet(int x1, int x2){return FindRoot(x1) == FindRoot(x2);}//返回集合的个数size_t Size(){size_t size = 0;for (int i = 0; i < _ufs.size(); ++i){if (_ufs[i] < 0)size++;}return size;}
private:std::vector<int> _ufs;
};
class Solution {
public:int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected) {UnionFindSet ufs(isConnected.size());for(int i = 0;i < isConnected.size();++i){for(int j = 0;j < isConnected[i].size();++j){if(isConnected[i][j] == 1)ufs.Union(i,j);}}return ufs.Size();}
};

但是每次都手撕一个并查集，还是麻烦，那就面向过程的来维护并查集ufs，代码如下：

class Solution {
public:int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected) {vector<int> ufs(isConnected.size(),-1);auto findroot = [&ufs](int x){while(ufs[x] >= 0) x = ufs[x]; return x;};for(int i = 0;i < isConnected.size();++i){for(int j = 0;j < isConnected[i].size();++j){if(isConnected[i][j] == 1){int rooti = findroot(i);int rootj = findroot(j);if(rooti == rootj)continue;else{ufs[rooti] += ufs[rootj];ufs[rootj] = rooti;}}}}int ret = 0;for(int i = 0;i < ufs.size();++i)if(ufs[i] < 0)++ret;return ret;}
};

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2、等式方程的可满足性

分两遍：
第一遍设置集合关系，哪一个元素属于哪一个集合先划分好；
第二遍查找相悖，有相悖，返回false；否则true。

class Solution {
public:bool equationsPossible(vector<string>& equations) {vector<int> ufs(26,-1);auto findroot = [&ufs](int x){while(ufs[x] >= 0)x = ufs[x];return x;};//第一遍先设置集合关系for(int i = 0;i < equations.size();++i){if(equations[i][1] == '='){int root1 = findroot(equations[i][0] - 'a');int root2 = findroot(equations[i][3] - 'a');if(root1 != root2){ufs[root1] += ufs[root2];ufs[root2] = root1;}}}//第二次再查找相悖关系for(int i = 0;i < equations.size();++i){if(equations[i][1] == '!'){int root1 = findroot(equations[i][0] - 'a');int root2 = findroot(equations[i][3] - 'a');if(root1 == root2){return false;}}}//没有相悖返回真return true;}
};

四、并查集的路径压缩

随着一棵树的高度增加，并查集的查找效率逐渐降低。路径压缩目的是减小树的高度，进而提高并查集查找效率。
路径压缩一般来说有两种思路：
**第一种：**每次查找一个位置，吧一个节点的位置直接更新到根。
**第二种：**每查找一个位置，把查找路径上的节点位置都更新到根。

到这里并查集结束了，并查集是为了给图做铺垫。

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完~
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