抛物线法（二次插值法）

抛物线法简介

抛物线法（Quadratic Interpolation Method）是一种用于一维单峰函数极值搜索的经典优化方法。该方法通过在区间内选取三个不同的点，拟合一条二次抛物线，并求取这条抛物线的极值点作为新的迭代点，从而逐步逼近函数的极值。它相比于0.618法或黄金分割法，具有更快的收敛速度，特别是在极值点附近表现出超线性收敛特性。

数学推导

设 $f(x)$ 在区间 内有单个极值点，选取不同的点 $(x_1,f(x_1))$，$(x_2,f(x_2))$，$(x_3,f(x_3))$， 用它们你和出一条二次抛物曲线

$$f(x)=A{x}^2+Bx+C$$
根据三点插值法，可以推导出抛物线极值点的公式

$$x_{min}=\frac{f(x_1)(x_2^2-x_3^2)+f(x_2)(x_3^2-x_1^2)+f(x_3)(x_1^2-x_2^2)}{2[f(x_1)(x_2-x_3)+f(x_2)(x_3-x_1)+f(x_3)(x_1-x_2)]}$$
这个公式直接给出了二次曲线顶点的位置，作为当前迭代中的极小值近似。

算法流程

• 选取初始区间 $[a,b]$ 内的三个点 $x_1$，$x_2$，$x_3$
  这三个点一般选取为 $x_1=a$，$x_3=b$， $x_2=\frac{a+b}{2}$， 设定容许误差 $\eta$

• 计算函数值 $f(x_1)$，$f(x_2)$ 和 $f(x_3)$

• 拟合抛物线，计算顶点 根据三点插值公式，拟合出二次函数，并计算顶点坐标：
  $$x_{min}=\frac{f(x_1)(x_2^2-x_3^2)+f(x_2)(x_3^2-x_1^2)+f(x_3)(x_1^2-x_2^2)}{2[f(x_1)(x_2-x_3)+f(x_2)(x_3-x_1)+f(x_3)(x_1-x_2)]}$$

• 判断是否满足精度要求 $\eta$
  如果
  $$|x_{min}-x_2|<\eta$$
  说明收敛，极小值点为 $x_{\text{min}}$，停止迭代。

• 根据极值点位置和函数值更新三个点
  计算 $f_{\text{min}}=f(x_{\text{min}})$
  比较 $x_{\text{min}}$ 和 $x_2$，分情况更新

情况	条件	更新方式
A	$x_{\text{min}}<x_2$ 且 $f_{\text{min}}<f_2$	$x_3\leftarrow x_2$, $f_3\leftarrow f_2$ $x_2\leftarrow x_{\text{min}}$, $f_2\leftarrow f_{\text{min}}$
B	$x_{\text{min}}<x_2$ 且 $f_{\text{min}}\ge f_2$	$x_1\leftarrow x_{\text{min}}$, $f_1\leftarrow f_{\text{min}}$
C	$x_{\text{min}}>x_2$ 且 $f_{\text{min}}<f_2$	$x_1\leftarrow x_2$, $f_1\leftarrow f_2$ $x_2\leftarrow x_{\text{min}}$, $f_2\leftarrow f_{\text{min}}$
D	$x_{\text{min}}>x_2$ 且 $f_{\text{min}}\ge f_2$	$x_3\leftarrow x_{\text{min}}$, $f_3\leftarrow f_{\text{min}}$

9. 重复第 2 步到第 5 步, 直到收敛
   当 $|x_{\text{min}}-x_2|<\eta$，返回 $x_{\text{min}}$ 作为极小值点

算法实现

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <functional>
#include <algorithm>class QuadraticInterpolation {
private:double x1, x2, x3;                      // 三个采样点double eps;                             // 精度要求std::function<double(double)> func;     // 待优化目标函数public:// 构造函数QuadraticInterpolation(double a, double b, double e, std::function<double(double)> f): x1(a), x2((a + b) / 2), x3(b), eps(e), func(f) {}// 执行搜索double search() {double f1 = func(x1);double f2 = func(x2);double f3 = func(x3);double xmin;while (true) {// 抛物线拟合顶点公式double numerator = f1 * (std::pow(x2, 2) - std::pow(x3, 2)) +f2 * (std::pow(x3, 2) - std::pow(x1, 2)) +f3 * (std::pow(x1, 2) - std::pow(x2, 2));double denominator = 2 * (f1 * (x2 - x3) +f2 * (x3 - x1) +f3 * (x1 - x2));if (std::abs(denominator) < 1e-12) break; // 防止除0异常xmin = numerator / denominator;double fmin = func(xmin);// 判断是否达到精度if (std::fabs(xmin - x2) < eps) break;// 更新三点，保留较优的三个点if (xmin < x2) {if (fmin < f2) {x3 = x2;f3 = f2;x2 = xmin;f2 = fmin;}else {x1 = xmin;f1 = fmin;}}else {if (fmin < f2) {x1 = x2;f1 = f2;x2 = xmin;f2 = fmin;}else {x3 = xmin;f3 = fmin;}}}return xmin;}
};// 示例函数
double testFunc(double x) {return x * x - sin(x);
}int main() {// 构造优化器，区间[0,5]，精度1e-6QuadraticInterpolation optimizer(0, 1, 1e-6, testFunc);double result = optimizer.search();std::cout << "极小值点 x ≈ " << result << std::endl;std::cout << "对应的 f(x) ≈ " << testFunc(result) << std::endl;return 0;
}

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation, PillowWriter# 定义目标函数
def f(x):return x**2 - np.sin(x)# 抛物线插值法计算顶点
def quadratic_interpolation(x1, x2, x3, f1, f2, f3):numerator = f1*(x2**2 - x3**2) + f2*(x3**2 - x1**2) + f3*(x1**2 - x2**2)denominator = 2*(f1*(x2 - x3) + f2*(x3 - x1) + f3*(x1 - x2))if np.abs(denominator) < 1e-12:return x2  # 防止除0return numerator / denominator# 初始参数
x1, x2, x3 = 0.0, 1.0, 2.0
eps = 1e-6# 函数取值范围
x_vals = np.linspace(0, 2.5, 400)
y_vals = f(x_vals)# 创建图形
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))iteration = [0]  # 用 list 包一层，方便闭包修改def update(_):global x1, x2, x3iteration[0] += 1ax.clear()ax.plot(x_vals, y_vals, label="f(x) = $x^2 - \sin(x)$")f1, f2, f3 = f(x1), f(x2), f(x3)# 防止三点重合if abs(x1 - x2) < 1e-10 or abs(x1 - x3) < 1e-10 or abs(x2 - x3) < 1e-10:ani.event_source.stop()return# 拟合抛物线 y = A x^2 + B x + CX = np.array([[x1**2, x1, 1],[x2**2, x2, 1],[x3**2, x3, 1]])Y = np.array([f1, f2, f3])try:coeffs = np.linalg.solve(X, Y)except np.linalg.LinAlgError:ani.event_source.stop()returnA, B, C = coeffs# 拟合抛物线曲线x_fit = np.linspace(min(x1, x2, x3)-0.2, max(x1, x2, x3)+0.2, 200)y_fit = A * x_fit**2 + B * x_fit + Cax.plot(x_fit, y_fit, 'r--', label="Quadratic fit")# 计算拟合顶点xmin = quadratic_interpolation(x1, x2, x3, f1, f2, f3)fmin = f(xmin)# 绘制采样点和拟合点ax.plot([x1, x2, x3], [f1, f2, f3], 'go', label="Sample points")ax.plot(xmin, fmin, 'bo', label="New point")# 显示当前迭代信息ax.set_title(f"Iteration {iteration[0]}, x_min ≈ {xmin:.6f}")# 判断收敛，满足条件则停止动画if np.abs(xmin - x2) < eps:ani.event_source.stop()# 更新三点if xmin < x2:if fmin < f2:x3, f3 = x2, f2x2, f2 = xmin, fminelse:x1, f1 = xmin, fminelse:if fmin < f2:x1, f1 = x2, f2x2, f2 = xmin, fminelse:x3, f3 = xmin, fminax.legend()ax.set_xlim(0, 2.5)ax.set_ylim(-0.5, 5)ax.grid(True)# 动画：frames 不设定固定值，interval 控控制刷新速度
ani = FuncAnimation(fig, update, interval=500, repeat=False)# 保存 GIF
ani.save("quadratic_interpolation_auto_stop.gif", writer=PillowWriter(fps=2))plt.show()