2.5 特征值与特征向量

本章围绕特征值、特征向量及其应用展开，是线性代数的核心章节之一。以下从四个核心考点系统梳理知识体系：

---

考点一：矩阵的特征值与特征向量

1. 计算方法

• 具体矩阵：
  解特征方程 $|\lambda E-A|=0$ 得特征值 ${\lambda }_i$，再解齐次方程组 $({\lambda }_{i}E-A)x=0$ 得特征向量。
• 抽象矩阵：
  利用定义 $A\alpha =\lambda \alpha$ 建立方程组求解。

2. 核心性质

1. 特征值之和：${\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i=\text{tr}(A)$（矩阵的迹）
2. 不同特征值的特征向量线性无关
3. 同一特征值线性无关特征向量个数不超过特征值的个数
4. 相关矩阵的特征值：

   矩阵类型	特征值	特征向量
   $A$	$\lambda$	$\alpha$
   $A^2$	${\lambda }^2$	$\alpha$
   $f(A)$	$f(\lambda )$	$\alpha$
   $A^{-1}$	${\lambda }^{-1}$	$\alpha$
   $A^{\top }$	同 $A$	未知
   $B=P^{-1}AP$	同 $A$	$P^{-1}\alpha$

3. 秩为1矩阵的特殊情况

• 特征值：
  ${\lambda }_1=\text{tr}(A),{\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_n=0$
• 可相似对角化条件：
  当且仅当 $A$ 的非零特征值等于迹（即秩为1且迹非零）

---

考点二：相似矩阵

1. 定义与性质

• 定义：存在可逆矩阵 $P$ 使 $P^{-1}AP=B$，记作 $A\sim B$
• 必要条件：
  ① 特征值相同
  ② 秩相等
  ③ 相似矩阵必合同（实对称矩阵）
• 充要条件：
  ① 若 $A\sim C$ 且 $B\sim C$，则 $A\sim B$
  ② 实对称矩阵：${\lambda }_A={\lambda }_B\iff A\sim B$

2. 特殊结论

1. 矩阵相似性：
   $A\sim B\iff A^{\ast }\sim B^{\ast }$（需 $|A|=|B|$ 且 $A$ 与 $B$ 可逆）
   $A\sim B\iff A^T\sim B^T$（需 $|A|=|B|$ 且 $A$ 与 $B$ 可逆）
   $A\sim B\iff A^{-1}\sim B^{-1}$（需 $|A|=|B|$ 且 $A$ 与 $B$ 可逆）
2. 多项式矩阵相似性：
   $A\sim B\Rightarrow (A+kE)\sim (B+kE)$

---

考点三：相似对角化

1. 解题步骤

1. 求特征方程 $|\lambda E-A|=0$ 得所有特征值
2. 对每个特征值解 $({\lambda }_{i}E-A)x=0$ 得基础解系
3. 构造矩阵 $P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)$，使 $P^{-1}AP=\Lambda$

2. 充要条件

• 定理：$n$ 阶矩阵可相似对角化 $\iff$ 每个特征值对应的线性无关特征向量个数等于其重数
• 分情况讨论：
  • 单根特征值：必存在足够特征向量
  • 重根特征值：需满足 $r({\lambda }_{i}E-A)=n-k$（$k$ 为重数）

---

考点四：合同对角化（实对称矩阵）

1. 实对称矩阵性质

• 特征值均为实数
• 不同特征值对应的特征向量正交
• 必可相似且合同对角化

2. 合同对角化步骤

• 求特征方程 $|\lambda E-A|=0$ 得特征值
• 解 $({\lambda }_{i}E-A)x=0$ 得正交特征向量
• 正交化 + 单位化得正交矩阵 $Q$
• 验证 $Q^{\top }AQ=\Lambda$

3. 施密特正交

设向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$ 线性无关，将其正交化为 ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_s$，再单位化为 ${\gamma }_1,{\gamma }_2,\dots ,{\gamma }_s$。具体步骤如下：

正交化公式：
$$\begin{array}{rl}{\beta }_1& ={\alpha }_1\\ {\beta }_2& ={\alpha }_2-\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1\\ {\beta }_3& ={\alpha }_3-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_2)}{({\beta }_2,{\beta }_2)}{\beta }_2\\ & ⋮\\ {\beta }_k& ={\alpha }_k-\sum _{i=1}^{k-1}\frac{({\alpha }_k,{\beta }_i)}{({\beta }_i,{\beta }_i)}{\beta }_i\end{array}$$

符号说明：

• $(\cdot ,\cdot )$ 表示向量内积（点积）
• ${\beta }_k$ 是 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_k$ 的正交线性组合

单位化公式：
$${\gamma }_i=\frac{{\beta }_i}{\Vert {\beta }_i\Vert }(i=1,2,\dots ,s)$$
其中 $\Vert {\beta }_i\Vert =\sqrt{({\beta }_i,{\beta }_i)}$ 为向量模长。

示例验证 设 ${\alpha }_1=(1,1,0{)}^{\top },{\alpha }_2=(1,0,1{)}^{\top }$，正交化过程为： $$\begin{array}{rl}{\beta }_1& =(1,1,0{)}^{\top }\\ {\beta }_2& =(1,0,1{)}^{\top }-\frac{(1,0,1)\cdot (1,1,0)}{(1,1,0)\cdot (1,1,0)}(1,1,0{)}^{\top }\\ & =(1,0,1{)}^{\top }-\frac{1}{2}(1,1,0{)}^{\top }=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1{)}^{\top }\end{array}$$ 单位化后得： $${\gamma }_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0{)}^{\top },{\gamma }_2=\frac{\sqrt{6}}{3}(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1{)}^{\top }$$

---

总结

本章需重点掌握：

1. 特征值计算与性质的综合应用
2. 相似对角化的充要条件及步骤
3. 实对称矩阵的正交对角化流程
   建议结合真题训练，强化特征向量正交性与合同变换的结合应用。