二项式反演及其代数证明
文章目录
- 二项式反演
- 前置知识
- 二项式定理
- 组合数的性质
- 二项式反演
- 形式1
- 形式2
- 形式3
- 形式4
二项式反演
前置知识
二项式定理
如下：
( a + b ) n = ∑ i = 0 n C n i a i b n − i (a+b)^n=\sum_{i=0}^nC_n^ia^ib^{n-i} (a+b)n=i=0∑nCniaibn−i
有扩展：
( a x + b y ) n = ∑ i = 0 n C n i a i b n − i x i y n − i (ax+by)^n=\sum_{i=0}^nC_n^ia^ib^{n-i}x^iy^{n-i} (ax+by)n=i=0∑nCniaibn−ixiyn−i
组合数的性质
如下：
C n i C i j = C n j C n − j i − j C_n^iC_i^j=C_n^jC_{n-j}^{i-j} CniCij=CnjCn−ji−j
代数证明：
C n i C i j = n ! i ! ( n − i ) ! × i ! j ! ( i − j ) ! = n ! ( n − i ) ! j ! ( i − j ) ! C n j C n − j i − j = n ! j ! ( n − j ) ! × ( n − j ) ! ( i − j ) ! ( n − i ) ! = n ! ( n − i ) ! j ! ( i − j ) ! C_n^iC_i^j=\frac{n!}{i!(n-i)!}\times \frac{i!}{j!(i-j)!}=\frac{n!}{(n-i)!j!(i-j)!} \\ C_n^jC_{n-j}^{i-j}=\frac{n!}{j!(n-j)!}\times \frac{(n-j)!}{(i-j)!(n-i)!}=\frac{n!}{(n-i)!j!(i-j)!} CniCij=i!(n−i)!n!×j!(i−j)!i!=(n−i)!j!(i−j)!n!CnjCn−ji−j=j!(n−j)!n!×(i−j)!(n−i)!(n−j)!=(n−i)!j!(i−j)!n!
显然相等。
或者感性理解，从 n n n 个数中选 i i i 个，再从这 i i i 个中选 j j j 个。
明显等价于先从 n n n 个数中选 j j j 个，再从剩下 n − j n-j n−j 个选 i − j i-j i−j 个。
二项式反演
形式1
f n = ∑ i = 0 n ( − 1 ) i C n i g i ⟺ g n = ∑ i = 0 n ( − 1 ) i C n i f i f_n=\sum_{i=0}^n(-1)^{i}C_n^ig_i\Longleftrightarrow g_n=\sum_{i=0}^n(-1)^{i}C_n^if_i fn=i=0∑n(−1)iCnigi⟺gn=i=0∑n(−1)iCnifi
考虑直接带入证明，即：
f n = ∑ i = 0 n ( − 1 ) i C n i g i = ∑ i = 0 n ( − 1 ) i C n i ∑ j = 0 i ( − 1 ) j C i j f j = ∑ j = 0 n ( − 1 ) j f j ∑ i = j n ( − 1 ) i C n i C i j = ∑ j = 0 n C n j ( − 1 ) j f j ∑ i = j n ( − 1 ) i C n − j i − j = ∑ j = 0 n C n j f j ( 1 − 1 ) n − j = f n \begin{aligned} f_n&=\sum_{i=0}^n(-1)^{i}C_n^ig_i\\ &=\sum_{i=0}^n(-1)^{i}C_n^i\sum_{j=0}^i(-1)^{j}C_i^jf_j\\ &=\sum_{j=0}^n(-1)^jf_j\sum_{i=j}^n(-1)^iC_n^iC_i^j\\ &=\sum_{j=0}^nC_n^j(-1)^jf_j\sum_{i=j}^n(-1)^iC_{n-j}^{i-j}\\ &=\sum_{j=0}^nC_n^jf_j(1-1)^{n-j}\\ &=f_n \end{aligned} fn=i=0∑n(−1)iCnigi=i=0∑n(−1)iCnij=0∑i(−1)jCijfj=j=0∑n(−1)jfji=j∑n(−1)iCniCij=j=0∑nCnj(−1)jfji=j∑n(−1)iCn−ji−j=j=0∑nCnjfj(1−1)n−j=fn
具体讲一下，第二个等号把 g g g 带进去。
第三个等号时交换求和顺序，是各种反演的常见技巧。
考虑原来的 f j f_j fj 会对 i = j , j + 1 , … , n i=j,j+1,\dots,n i=j,j+1,…,n 做贡献，系数为 ( − 1 ) i C n i ( − 1 ) j C i j (-1)^iC_n^i(-1)^jC_i^j (−1)iCni(−1)jCij
在看等号后的式子，每个 j j j 还是对 i = j , j + 1 , … , n i=j,j+1,\dots,n i=j,j+1,…,n 做贡献，系数为 ( − 1 ) j ( − 1 ) i C n i C i j (-1)^j(-1)^iC_n^iC_i^j (−1)j(−1)iCniCij，系数也和原来一样。所以两个式子显然等价。
第四个等号即为上边组合数的性质，然后把 C n j C_n^j Cnj 这一之和 j j j 相关的项提到前面去。
第五个等号是二项式定理。
考虑把前面的 ( − 1 ) j (-1)^j (−1)j 扔到后面去：
∑ i = j n ( − 1 ) i + j C n − j i − j \sum_{i=j}^n(-1)^{i+j}C_{n-j}^{i-j} i=j∑n(−1)i+jCn−ji−j
让 i ′ = i − j i'=i-j i′=i−j，则有：
a n s = ∑ i = j n ( − 1 ) i + j C n − j i − j = ∑ i ′ = 0 n − j ( − 1 ) i ′ + 2 j C n − j i ′ = ∑ i ′ = 0 n − j 1 n − i ′ ( − 1 ) i ′ C n − j i ′ = ( 1 − 1 ) n − j \begin{aligned} ans&=\sum_{i=j}^n(-1)^{i+j}C_{n-j}^{i-j}\\ &=\sum_{i'=0}^{n-j}(-1)^{i'+2j}C_{n-j}^{i'}\\ &=\sum_{i'=0}^{n-j}1^{n-i'}(-1)^{i'}C_{n-j}^{i'}\\ &=(1-1)^{n-j} \end{aligned} ans=i=j∑n(−1)i+jCn−ji−j=i′=0∑n−j(−1)i′+2jCn−ji′=i′=0∑n−j1n−i′(−1)i′Cn−ji′=(1−1)n−j
因为显然有 ( − 1 ) n = ( − 1 ) n + 2 k , k ∈ Z (-1)^n=(-1)^{n+2k},k\in Z (−1)n=(−1)n+2k,k∈Z，同时乘上一个 1 n − i ′ 1^{n-i'} 1n−i′ 显然不影响求和。
得证。
形式2
f n = ∑ i = 0 n C n i g i ⟺ g n = ∑ i = 0 n ( − 1 ) n − i C n i f i f_n=\sum_{i=0}^nC_n^ig_i\Longleftrightarrow g_n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}C_n^if_i fn=i=0∑nCnigi⟺gn=i=0∑n(−1)n−iCnifi
证明：
f n = ∑ i = 0 n C n i g i = ∑ i = 0 n C n i ∑ j = 0 i ( − 1 ) i − j C i j f j = ∑ j = 0 n f j ∑ i = j n ( − 1 ) i − j C n i C i j = ∑ j = 0 n f j ∑ i = j n ( − 1 ) i + j C n i C i j = ∑ j = 0 n C n j f j ∑ i = j n ( − 1 ) i + j C n − j i − j = f n \begin{aligned} f_n&=\sum_{i=0}^nC_n^ig_i\\ &=\sum_{i=0}^nC_n^i\sum_{j=0}^i(-1)^{i-j}C_i^jf_j\\ &=\sum_{j=0}^nf_j\sum_{i=j}^n(-1)^{i-j}C_n^iC_i^j\\ &=\sum_{j=0}^nf_j\sum_{i=j}^n(-1)^{i+j}C_n^iC_i^j\\ &=\sum_{j=0}^nC_n^jf_j\sum_{i=j}^n(-1)^{i+j}C_{n-j}^{i-j}\\ &=f_n \end{aligned} fn=i=0∑nCnigi=i=0∑nCnij=0∑i(−1)i−jCijfj=j=0∑nfji=j∑n(−1)i−jCniCij=j=0∑nfji=j∑n(−1)i+jCniCij=j=0∑nCnjfji=j∑n(−1)i+jCn−ji−j=fn
形式3
f n = ∑ i = n N ( − 1 ) i C i n g i ⟺ g n = ∑ i = n N ( − 1 ) i C i n f i f_n=\sum_{i=n}^N(-1)^{i}C_i^ng_i\Longleftrightarrow g_n=\sum_{i=n}^N(-1)^{i}C_i^nf_i fn=i=n∑N(−1)iCingi⟺gn=i=n∑N(−1)iCinfi
证明：
f n = ∑ i = n N ( − 1 ) i C i n g i = ∑ i = n N ( − 1 ) i C i n ∑ j = i N ( − 1 ) j C j i f j = ∑ j = n N f ( j ) ∑ i = n j ( − 1 ) i + j C i n C j i = ∑ j = n N f ( j ) C j n ∑ i = n j ( − 1 ) i + j C j − n j − i = f n \begin{aligned} f_n&=\sum_{i=n}^N(-1)^{i}C_i^ng_i\\ &=\sum_{i=n}^N(-1)^{i}C_i^n\sum_{j=i}^N(-1)^{j}C_j^if_j\\ &=\sum_{j=n}^{N} f(j) \sum_{i=n}^{j} (-1)^{i+j} C_i^n C_j^i\\ &=\sum_{j=n}^{N} f(j) C_j^n \sum_{i=n}^{j} (-1)^{i+j} C_{j-n}^{j-i}\\ &=f_n \end{aligned} fn=i=n∑N(−1)iCingi=i=n∑N(−1)iCinj=i∑N(−1)jCjifj=j=n∑Nf(j)i=n∑j(−1)i+jCinCji=j=n∑Nf(j)Cjni=n∑j(−1)i+jCj−nj−i=fn
后面一样
形式4
f n = ∑ i = n N C i n g i ⟺ g n = ∑ i = n N ( − 1 ) i − n C i n f i f_n=\sum_{i=n}^NC_i^ng_i\Longleftrightarrow g_n=\sum_{i=n}^N(-1)^{i-n}C_i^nf_i fn=i=n∑NCingi⟺gn=i=n∑N(−1)i−nCinfi
证明：
f n = ∑ i = n N C i n g i = ∑ i = n N ( − 1 ) i − n C i n ∑ j = i N C j i f j = ∑ j = n N f ( j ) ∑ i = n j ( − 1 ) i − n C i n C j i = ∑ j = n N f ( j ) C j n ∑ i = n j ( − 1 ) i − n C j − n j − i = f n \begin{aligned} f_n&=\sum_{i=n}^NC_i^ng_i\\ &=\sum_{i=n}^N(-1)^{i-n}C_i^n\sum_{j=i}^NC_j^if_j\\ &=\sum_{j=n}^{N} f(j) \sum_{i=n}^{j} (-1)^{i-n} C_i^n C_j^i\\ &=\sum_{j=n}^{N} f(j) C_j^n \sum_{i=n}^{j} (-1)^{i-n} C_{j-n}^{j-i}\\ &=f_n \end{aligned} fn=i=n∑NCingi=i=n∑N(−1)i−nCinj=i∑NCjifj=j=n∑Nf(j)i=n∑j(−1)i−nCinCji=j=n∑Nf(j)Cjni=n∑j(−1)i−nCj−nj−i=fn