高等数学第六章---定积分（§6.1元素法6.2定积分在几何上的应用1）

本文是关于定积分应用的系列讲解的第一讲，主要介绍元素法的基本思想，并重点讲解如何运用定积分计算平面图形的面积，包括直角坐标系和极坐标系下的情况。

§6.1 元素法

曲边梯形的面积回顾

我们首先回顾曲边梯形的面积。设函数 $f(x)\ge 0$ 且在 $[a,b]$ 上连续，则由直线 $x=a$, $x=b$, $x$ 轴以及曲线 $y=f(x)$ 所围成的曲边梯形的面积 $A$ 可以通过定积分表示：
$$A={\int }_a^{b}f(x)dx$$

下面我们尝试用另一种方式——元素法——来推导这个面积公式。这种方法不仅能得到相同的结果，更重要的是它揭示了一种利用定积分解决各类实际问题的普适性思想。

1.面积函数的微分

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。我们定义一个面积函数 $A(x)$，它表示从 $a$ 到任意点 $x$ ($a\le x\le b$) 的曲边梯形面积：
$$A(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

根据微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式的微分形式），面积函数 $A(x)$ 的导数为：
$$A^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}\left({\int }_a^{x}f(t)dt\right)=f(x)$$

因此，$A(x)$ 的微分为：
$$d(A(x))=A^{\prime }(x)dx=f(x)dx$$

这个 $f(x)dx$ 恰好是原面积积分表达式 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 中的被积表达式部分。
于是，曲边梯形的总面积 $A$ 可以写作：
$$A=A(b)-A(a)={\int }_a^{b}d(A(x))$$
由于 $A(a)={\int }_a^{a}f(t)dt=0$，所以 $A=A(b)={\int }_a^{b}f(x)dx$。

2.从微元近似到面积元素

要计算曲边梯形的面积 $A$，核心在于找到面积函数的微分 $d(A(x))$。
在微分学中，我们知道当 $\Delta x\to 0$ 时，函数的改变量 $\Delta y$ 可以用其微分 $dy$ 来近似，即 $\Delta y\approx dy$。
类似地，我们考虑面积函数 $A(x)$ 在点 $x$ 处的改变量 $\Delta A(x)$。
在区间 $[a,b]$ 上任取一点 $x$，再取其附近的一点 $x+\Delta x$（如图所示，通常 $\Delta x>0$）。
那么，在小区间 $[x,x+\Delta x]$ 上，曲边梯形的面积即为 $\Delta A(x)=A(x+\Delta x)-A(x)$。

[图示：在 $x$ 和 $x+\Delta x$ 之间的小曲边梯形]

当 $\Delta x$ 很小时，这块窄长曲边梯形的面积 $\Delta A(x)$ 可以近似为一个高为 $f(x)$（或 $f(x+\Delta x)$，或区间内某点函数值）、宽为 $\Delta x$ 的矩形面积。
我们取其简单近似值：
$$\Delta A(x)\approx f(x)\Delta x$$
当 $\Delta x\to dx$ (即取极限意义下的无穷小)，这个近似就变成了面积的微分，称为面积元素 $dA$ (或 $d(A(x))$):
$$dA(x)=f(x)dx$$

3.元素法求曲边梯形面积的步骤

1. 分割与选取典型小区间: 在积分区间 $[a,b]$ 上任取一点 $x$，并考虑其附近一个微小长度的区间 $[x,x+dx]$ (或 $[x,x+\Delta x]$ 然后令 $\Delta x\to dx$)。
2. 近似计算微元: 求出对应于小区间 $[x,x+dx]$ 的那一部分量（此处为面积）的近似值。对于曲边梯形，这部分面积 $\Delta A(x)$ 近似为一个窄矩形的面积 $f(x)dx$。
3. 得到微分（元素）: 将此近似值视为该量的微分（元素），即面积元素 $dA=f(x)dx$。
4. 积分求和: 将这些微元从 $a$ 到 $b$ "累加"起来，即通过定积分得到总的量：
   $$A={\int }_a^{b}dA={\int }_a^{b}f(x)dx$$

4.推广：元素法的普适性

一般地，要计算某个在区间 $[a,b]$ 上定义的、具有区间可加性的物理量或几何量 $U$（例如面积、体积、弧长、功等），可以遵循以下步骤：

1. 选取典型微元: 在区间 $[a,b]$ 上任取一点 $x$，并考虑一个微小区间 $[x,x+dx]$。
2. 近似计算微元量: 求出量 $U$ 在这个微小区间 $[x,x+dx]$ 上的改变量 $\Delta U(x)$ 的一个简单近似值。这个近似值通常可以表示为某个与 $x$ 相关的函数 $f(x)$ 乘以 $dx$ 的形式，即 $\Delta U(x)\approx f(x)dx$。
3. 确定量的微分: 将此近似值作为量 $U$ 的微分（或称为 $U$ 的元素），记为 $dU=f(x)dx$。
4. 积分求总量: 将这些元素从 $a$ 到 $b$ 进行积分，得到总量 $U$:
   $$U={\int }_a^{b}dU={\int }_a^{b}f(x)dx$$

§6.2 定积分在几何上的应用

一、平面图形的面积

1. 直角坐标系下平面图形的面积

(1) X-型区域的面积

① X-型区域定义：
若一个平面区域 $D_x$ 由两条连续曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$（其中 $f(x)\ge g(x)$），以及两条竖直线 $x=a$ 和 $x=b$（其中 $a<b$）所围成，则称该区域为 X-型区域。用不等式可以表示为：
$$D_x:a\le x\le b,g(x)\le y\le f(x)$$
（该图形在 $x$ 方向上介于 $x=a$ 和 $x=b$ 之间，在 $y$ 方向上介于下方的曲线 $y=g(x)$ 和上方的曲线 $y=f(x)$ 之间。）

② 面积公式：
我们采用元素法来求解面积 $A$。

1. 在 $[a,b]$ 上任取一小段 $[x,x+dx]$。
2. 在这一小段上，图形的面积可以近似为一个窄长的矩形。这个矩形的高为上下两条曲线的函数值之差，即 $f(x)-g(x)$，宽为 $dx$。
3. 因此，面积元素 $dA$ 为：
   $$dA=(f(x)-g(x))dx$$
4. 将这些面积元素从 $a$ 到 $b$ 积分，即得到X-型区域的总面积：
   $$A={\int }_a^{b}dA={\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$$

注：若在区间 $[a,b]$ 上，$f(x)$ 与 $g(x)$ 的大小关系不确定或发生改变（即曲线有交叉），则面积公式应取其差的绝对值：
$$A={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$$
在实际计算时，通常需要根据交点将积分区间分段，然后在每一段上确定哪条曲线在上，哪条在下。

利用面积公式计算平面图形的面积的做题步骤：

1. 画图：根据给定的曲线和直线方程，画出所围图形的草图。
2. 确定图形类型和积分限：
   • 求出曲线之间的交点，这些交点的 $x$ 坐标往往决定了积分的上下限 $a,b$。
   • 判断图形是X-型、Y-型，还是需要分割。
   • 写出区域的不等式表示，明确上下边界函数 $f(x)$ 和 $g(x)$。
3. 代入公式计算：将确定的积分限和被积函数代入相应的面积公式，并计算定积分的值。

例 1：计算由抛物线 $y=x^2$ 和 $y^2=x$ 所围成的图形的面积。

解：

1. 画图：
   [图示：抛物线 $y=x^2$ 与 $y^2=x$ 所围区域]
   

2. 确定图形类型，并写出不等式表示：
   联立方程组 $\{\begin{array}{l}y=x^2\\ y^2=x\end{array}$，解得交点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。
   将图形向 $x$ 轴投影， $x$ 的取值范围是 $[0,1]$。
   在此区间内，$y^2=x$ 对应于 $y=\sqrt{x}$ (取正值，因为是第一象限的交点)。
   比较 $y=\sqrt{x}$ 和 $y=x^2$ 在 $[0,1]$ 上的大小：例如取 $x=1/4$，$\sqrt{x}=1/2$, $x^2=1/16$，所以 $\sqrt{x}\ge x^2$。
   因此，上边界曲线为 $f(x)=\sqrt{x}$，下边界曲线为 $g(x)=x^2$。
   区域可表示为 $D_x:0\le x\le 1,x^2\le y\le \sqrt{x}$。

3. 代入面积计算公式，并计算定积分：
   $$A={\int }_0^1(\sqrt{x}-x^2)dx={\left(\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}{x}^3\right)|}_0^1=\left(\frac{2}{3}(1{)}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}(1{)}^3\right)-(0-0)=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$

例 2：计算由 $y=x^2$，$y=2x+3$ 所围成的封闭图形的面积。

解：

1. 画图：
   [图示：抛物线 $y=x^2$ 与直线 $y=2x+3$ 所围区域]
   

2. 确定图形类型，并写出不等式表示：
   联立方程组 $\{\begin{array}{l}y=x^2\\ y=2x+3\end{array}$，得 $x^2=2x+3\Rightarrow x^2-2x-3=0\Rightarrow (x-3)(x+1)=0$。
   解得 $x_1=-1,x_2=3$。对应的 $y$ 坐标分别为 $y_1=(-1{)}^2=1$, $y_2=(3{)}^2=9$。
   交点为 $(-1,1)$ 和 $(3,9)$。
   将图形向 $x$ 轴投影，$x$ 的取值范围是 $[-1,3]$。
   在此区间内，直线 $y=2x+3$ 在抛物线 $y=x^2$ 的上方（例如取 $x=0$, $2x+3=3$, $x^2=0$, $3>0$）。
   所以，上边界 $f(x)=2x+3$，下边界 $g(x)=x^2$。
   区域可表示为 $D_x:-1\le x\le 3,x^2\le y\le 2x+3$。

3. 代入面积计算公式，并计算定积分：
   $$A={\int }_{-1}^3((2x+3)-x^2)dx={\left(x^2+3x-\frac{1}{3}{x}^3\right)|}_{-1}^3$$
   $$=\left(3^2+3(3)-\frac{1}{3}(3{)}^3\right)-\left((-1{)}^2+3(-1)-\frac{1}{3}(-1{)}^3\right)$$
   $$=(9+9-9)-\left(1-3+\frac{1}{3}\right)=9-\left(-2+\frac{1}{3}\right)=9-\left(-\frac{5}{3}\right)=9+\frac{5}{3}=\frac{27+5}{3}=\frac{32}{3}$$

(2) Y-型区域的面积

① Y-型区域定义：
若一个平面区域 $D_Y$ 由两条连续曲线 $x=\phi (y)$ 和 $x=\psi (y)$（其中 $\phi (y)\ge \psi (y)$），以及两条水平直线 $y=c$ 和 $y=d$（其中 $c<d$）所围成，则称该区域为 Y-型区域。用不等式可以表示为：
$$D_Y:c\le y\le d,\psi (y)\le x\le \phi (y)$$
（该图形在 $y$ 方向上介于 $y=c$ 和 $y=d$ 之间，在 $x$ 方向上介于左边的曲线 $x=\psi (y)$ 和右边的曲线 $x=\phi (y)$ 之间。）

② 面积公式：
类似地，对 $y$ 进行积分。面积元素 $dA$ 为一个高为 $dy$，宽为 $(\phi (y)-\psi (y))$ 的窄长水平矩形。
$$dA=(\phi (y)-\psi (y))dy$$
总面积为：
$$A={\int }_c^d(\phi (y)-\psi (y))dy$$

例 3：计算由抛物线 $y=x^2$，$y^2=x$ 所围成的图形的面积。(同例1，但用Y-型区域方法)

解：

1. 画图：同例1。
   [图示：抛物线 $y=x^2$ 与 $y^2=x$ 所围区域]
   

2. 确定区域类型，并写出不等式表示：
   交点仍为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。
   将图形向 $y$ 轴投影，$y$ 的取值范围是 $[0,1]$。
   将曲线方程表示为 $x$ 关于 $y$ 的函数：
   $y=x^2\Rightarrow x=\sqrt{y}$ (因为在第一象限，$x\ge 0$)
   $y^2=x\Rightarrow x=y^2$
   在 $y\in [0,1]$ 区间内，比较 $x=\sqrt{y}$ 和 $x=y^2$ 的大小：例如取 $y=1/4$, $\sqrt{y}=1/2$, $y^2=1/16$，所以 $\sqrt{y}\ge y^2$。
   这意味着 $x=\sqrt{y}$ 是右边界曲线， $x=y^2$ 是左边界曲线。
   即 $\phi (y)=\sqrt{y}$, $\psi (y)=y^2$。
   区域可表示为 $D_Y:0\le y\le 1,y^2\le x\le \sqrt{y}$。

3. 代入面积计算公式，并计算定积分：
   $$A={\int }_0^1(\sqrt{y}-y^2)dy={\left(\frac{2}{3}{y}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}{y}^3\right)|}_0^1=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$
   结果与例1相同。

例 4：计算由抛物线 $y^2=2x$ 与直线 $y=x-4$ 所围成的图形的面积。

解：

1. 画图：
   [图示：抛物线 $y^2=2x$ 与直线 $y=x-4$ 所围区域]
   

2. 确定区域类型，并写出不等式表示：
   联立方程组 $\{\begin{array}{l}{y}^2=2x\\ y=x-4\end{array}$。
   由第二式得 $x=y+4$，代入第一式：$y^2=2(y+4)\Rightarrow y^2=2y+8\Rightarrow y^2-2y-8=0\Rightarrow (y-4)(y+2)=0$。
   解得 $y_1=-2,y_2=4$。
   对应的 $x$ 坐标：$x_1=y_1+4=-2+4=2$, $x_2=y_2+4=4+4=8$。
   交点为 $(2,-2)$ 和 $(8,4)$。

   如果按X-型区域处理：
   向 $x$ 轴投影，投影区间为 $[0,8]$（注意抛物线顶点在 $(0,0)$）。
   在 $x\in [0,2]$，区域由 $y=\sqrt{2x}$ 和 $y=-\sqrt{2x}$ 围成。
   在 $x\in [2,8]$，区域由 $y=\sqrt{2x}$ 和 $y=x-4$ 围成。
   这需要分段积分，较为复杂。

   考虑按Y-型区域处理：
   将图形向 $y$ 轴投影，$y$ 的取值范围是 $[-2,4]$。
   曲线方程表示为 $x$ 关于 $y$ 的函数：
   $y^2=2x\Rightarrow x=\frac{y^2}{2}$ (抛物线)
   $y=x-4\Rightarrow x=y+4$ (直线)
   在 $y\in [-2,4]$ 区间内，比较 $x=y+4$ 和 $x=\frac{y^2}{2}$ 的大小。
   例如取 $y=0$，$y+4=4$, $y^2/2=0$，所以 $y+4\ge y^2/2$。直线在右，抛物线在左。
   右边界曲线 $\phi (y)=y+4$，左边界曲线 $\psi (y)=\frac{y^2}{2}$。
   区域可表示为 $D_Y:-2\le y\le 4,\frac{y^2}{2}\le x\le y+4$。
   这种方式只需一次积分。

3. 代入面积计算公式，并计算定积分：
   $$A={\int }_{-2}^4\left((y+4)-\frac{y^2}{2}\right)dy={\left(\frac{1}{2}{y}^2+4y-\frac{1}{6}{y}^3\right)|}_{-2}^4$$
   $$=\left(\frac{1}{2}(4{)}^2+4(4)-\frac{1}{6}(4{)}^3\right)-\left(\frac{1}{2}(-2{)}^2+4(-2)-\frac{1}{6}(-2{)}^3\right)$$
   $$=\left(8+16-\frac{64}{6}\right)-\left(2-8+\frac{8}{6}\right)=\left(24-\frac{32}{3}\right)-\left(-6+\frac{4}{3}\right)$$
   $$=\frac{72-32}{3}-\frac{-18+4}{3}=\frac{40}{3}-\left(-\frac{14}{3}\right)=\frac{40+14}{3}=\frac{54}{3}=18$$

(3) 一般区域：化为X-型或Y-型区域（或其组合）

对于更复杂的图形，可能需要将其分割成若干个X-型或Y-型区域，然后分别计算面积再相加。选择分割方式的原则是尽量使计算简便（例如，积分次数少，被积函数简单）。

例 5：计算由 $y=\frac{4}{x}$，$y=x$，$y=4x$ 所围成第一象限部分图形的面积。

解：

1. 画图：
   [图示：$y=4/x,y=x,y=4x$ 在第一象限所围区域]
   

2. 确定区域类型，并写出不等式表示：
   首先求交点：

   • $y=x$ 与 $y=4x$：$x=4x\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0$。交点 $(0,0)$。
   • $y=x$ 与 $y=4/x$：$x=4/x\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=2$ (第一象限)。交点 $(2,2)$。
   • $y=4x$ 与 $y=4/x$：$4x=4/x\Rightarrow 4x^2=4\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=1$ (第一象限)。交点 $(1,4)$。

   将图形向 $x$ 轴投影，涉及的 $x$ 坐标有 $0,1,2$。图形需要被 $x=1$ 这条竖直线分成两部分 $D_1$ 和 $D_2$。

   • 对于 $D_1$: $0\le x\le 1$。
     上边界是 $y=4x$，下边界是 $y=x$。
     $D_1:0\le x\le 1,x\le y\le 4x$。
   • 对于 $D_2$: $1\le x\le 2$。
     上边界是 $y=4/x$，下边界是 $y=x$。
     $D_2:1\le x\le 2,x\le y\le \frac{4}{x}$。

   (注：如果向 $y$ 轴投影，同样需要分块，分界点是 $y=2$ 和 $y=4$，计算复杂度类似，故选择X-型。)

3. 代入面积计算公式，并计算定积分：
   总面积 $A=A_1+A_2$。
   $$A_1={\int }_0^1(4x-x)dx={\int }_0^{1}3xdx={\frac{3}{2}{x}^2|}_0^1=\frac{3}{2}$$
   $$A_2={\int }_1^2\left(\frac{4}{x}-x\right)dx={\left(4\ln |x|-\frac{1}{2}{x}^2\right)|}_1^2$$
   $$=\left(4\ln 2-\frac{1}{2}(2{)}^2\right)-\left(4\ln 1-\frac{1}{2}(1{)}^2\right)=(4\ln 2-2)-(0-\frac{1}{2})=4\ln 2-2+\frac{1}{2}=4\ln 2-\frac{3}{2}$$
   总面积 $A=A_1+A_2=\frac{3}{2}+\left(4\ln 2-\frac{3}{2}\right)=4\ln 2$。

例 6：计算由 $y=\sin x$，$y=\cos x$，$x=0$，$x=\pi$ 所围成平面图形的面积。

解：

1. 画图：
   [图示：$y=\sin x,y=\cos x,x=0,x=\pi$ 所围区域]
   

2. 确定图形类型，并写出不等式表示：
   首先求 $y=\sin x$ 和 $y=\cos x$ 在 $[0,\pi ]$ 内的交点：
   $\sin x=\cos x\Rightarrow \tan x=1$。在 $[0,\pi ]$ 内，解为 $x=\frac{\pi }{4}$。
   在 $x=\frac{\pi }{4}$ 处， $y=\sin (\frac{\pi }{4})=\cos (\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$。交点 $(\frac{\pi }{4},\frac{\sqrt{2}}{2})$。
   边界点：
   $x=0$: $\sin 0=0,\cos 0=1$
   $x=\pi$: $\sin \pi =0,\cos \pi =-1$

   图形被 $x=\frac{\pi }{4}$ 分成两部分：

   • $D_1$: $0\le x\le \frac{\pi }{4}$。
     在此区间，$\cos x\ge \sin x$。上边界 $y=\cos x$，下边界 $y=\sin x$。
     $D_1:0\le x\le \frac{\pi }{4},\sin x\le y\le \cos x$。
   • $D_2$: $\frac{\pi }{4}\le x\le \pi$。
     在此区间，$\sin x\ge \cos x$。上边界 $y=\sin x$，下边界 $y=\cos x$。
     $D_2:\frac{\pi }{4}\le x\le \pi ,\cos x\le y\le \sin x$。

   或者，可以直接使用绝对值公式：
   $A={\int }_0^{\pi }|\sin x-\cos x|dx$

3. 代入面积计算公式，并计算定积分：

   方法一：分段积分
   $$A_1={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}(\cos x-\sin x)dx={(\sin x+\cos x)|}_0^{\frac{\pi }{4}}$$
   $$=\left(\sin \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{4}\right)-(\sin 0+\cos 0)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-(0+1)=\sqrt{2}-1$$
   $$A_2={\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\pi }(\sin x-\cos x)dx={(-\cos x-\sin x)|}_{\frac{\pi }{4}}^{\pi }$$
   $$=(-\cos \pi -\sin \pi )-(-\cos \frac{\pi }{4}-\sin \frac{\pi }{4})=(-(-1)-0)-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
   $$=1-(-\sqrt{2})=1+\sqrt{2}$$
   总面积 $A=A_1+A_2=(\sqrt{2}-1)+(1+\sqrt{2})=2\sqrt{2}$。

   方法二：使用绝对值 (与方法一展开后一致)
   $$\begin{array}{rl}A& ={\int }_0^{\pi }|\sin x-\cos x|dx\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}(\cos x-\sin x)dx+{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\pi }(\sin x-\cos x)dx\\ & =[\sin x+\cos x{]}_0^{\frac{\pi }{4}}+[-\cos x-\sin x{]}_{\frac{\pi }{4}}^{\pi }\\ & =\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-(0+1)\right)+\left(-(-1)-0-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)\\ & =(\sqrt{2}-1)+(1+\sqrt{2})\\ & =2\sqrt{2}\end{array}$$

2. 极坐标系下平面图形的面积

(1) 极坐标的建立与直角坐标的关系

极坐标系由一个极点 $O$ 和一条从极点出发的极轴（通常是 $x$ 轴正方向）组成。平面上任意一点 $P$ (非极点) 的位置由它到极点的距离 $\rho$ (极径) 和射线 $OP$ 与极轴的夹角 $\theta$ (极角) 唯一确定，记为 $(\rho ,\theta )$。
直角坐标 $(x,y)$ 与极坐标 $(\rho ,\theta )$ 的转换关系如下（设极点与直角坐标原点重合，极轴与 $x$ 轴正半轴重合）：
$$\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \end{array}$$
反过来：
$$\{\begin{array}{ll}\rho =\sqrt{x^2+y^2}& (\rho \ge 0)\\ \tan \theta =\frac{y}{x}& (\text{根据}x,y\text{的符号确定象限})\end{array}$$
曲线方程可以在两种坐标系下互相转化。例如：

1. 直角坐标：$x^2+y^2=R^2$ (圆心在原点，半径为R的圆) $\iff$ 极坐标：$\rho =R$
2. 直角坐标：$x^2+y^2=2ax$ (圆心在$(a,0)$，半径为$|a|$的圆) $\iff (\rho \cos \theta {)}^2+(\rho \sin \theta {)}^2=2a(\rho \cos \theta )\Rightarrow {\rho }^2=2a\rho \cos \theta \Rightarrow \rho =2a\cos \theta$ (当 $\rho \ne 0$)

(2) 极坐标系下平面图形的面积公式

考虑由连续曲线 $\rho =\rho (\theta )$ 以及两条射线 $\theta =\alpha$ 和 $\theta =\beta$ ($\alpha <\beta$, $\beta -\alpha \le 2\pi$) 所围成的扇形区域。

我们使用元素法来推导面积公式：

1. 在角度区间 $[\alpha ,\beta ]$ 内任取一个微小的角区间 $[\theta ,\theta +d\theta ]$。
2. 这对应于图形中的一个微小扇形。当 $d\theta$ 极小时，这个微小扇形的面积 $\Delta A$ 可以近似为一个半径为 $\rho (\theta )$、圆心角为 $d\theta$ 的标准扇形面积。
3. 标准扇形的面积公式是 $\frac{1}{2}{r}^2\times (\text{弧度角})$。因此，面积元素 $dA$ 为：
   $$dA\approx \frac{1}{2}[\rho (\theta ){]}^{2}d\theta$$
4. 将这些面积元素从 $\alpha$ 到 $\beta$ 积分，得到总面积 $A$：
   $$A={\int }_{\alpha }^{\beta }dA=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }[\rho (\theta ){]}^{2}d\theta$$

(3) 极坐标系下平面图形的面积计算示例

例 1：计算阿基米德螺线 $\rho =a\theta$（$a>0$）上相应于 $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$ 的一段弧与极轴所围成的图形的面积。

解：
[图示：阿基米德螺线 $\rho =a\theta$ ($0\le \theta \le 2\pi$)]

给定的参数范围是 $\alpha =0$, $\beta =2\pi$。曲线方程为 $\rho (\theta )=a\theta$。
根据极坐标面积公式：
$$A=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }(a\theta {)}^{2}d\theta =\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }{a}^2{\theta }^{2}d\theta$$
计算定积分：
$$A=\frac{a^2}{2}{\left[\frac{{\theta }^3}{3}\right]}_0^{2\pi }=\frac{a^2}{2}\left(\frac{(2\pi {)}^3}{3}-\frac{0^3}{3}\right)=\frac{a^2}{2}\cdot \frac{8{\pi }^3}{3}=\frac{4}{3}{a}^2{\pi }^3$$

例 2：计算心形线 $\rho =a(1+\cos \theta )$（$a>0$）所围成图形的面积。

解：
[图示：心形线 $\rho =a(1+\cos \theta )$]

心形线 $\rho =a(1+\cos \theta )$ 的周期是 $2\pi$。$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$ 描绘出完整的心形线。
由于心形线关于极轴（$x$ 轴）对称（因为 $\cos (-\theta )=\cos \theta$），我们可以计算 $\theta$ 从 $0$ 到 $\pi$ （上半部分）的面积，然后乘以2。或者直接积分 $0$ 到 $2\pi$。
我们选择积分 $0$ 到 $2\pi$：
$\alpha =0$, $\beta =2\pi$。曲线方程 $\rho (\theta )=a(1+\cos \theta )$。
$$A=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }[a(1+\cos \theta ){]}^{2}d\theta =\frac{a^2}{2}{\int }_0^{2\pi }(1+\cos \theta {)}^{2}d\theta$$
展开被积函数：
$$(1+\cos \theta {)}^2=1+2\cos \theta +{\cos }^2\theta$$
利用三角恒等式 ${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$：
$$1+2\cos \theta +\frac{1+\cos 2\theta }{2}=\frac{3}{2}+2\cos \theta +\frac{1}{2}\cos 2\theta$$
所以积分变为：
$$A=\frac{a^2}{2}{\int }_0^{2\pi }\left(\frac{3}{2}+2\cos \theta +\frac{1}{2}\cos 2\theta \right)d\theta$$
计算定积分：
$$A=\frac{a^2}{2}{\left[\frac{3}{2}\theta +2\sin \theta +\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin 2\theta }{2}\right]}_0^{2\pi }$$
$$A=\frac{a^2}{2}{\left[\frac{3}{2}\theta +2\sin \theta +\frac{1}{4}\sin 2\theta \right]}_0^{2\pi }$$
代入上下限：
$$A=\frac{a^2}{2}\left(\left(\frac{3}{2}(2\pi )+2\sin (2\pi )+\frac{1}{4}\sin (4\pi )\right)-\left(\frac{3}{2}(0)+2\sin (0)+\frac{1}{4}\sin (0)\right)\right)$$
$$A=\frac{a^2}{2}\left((3\pi +0+0)-(0+0+0)\right)=\frac{3}{2}\pi a^2$$

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总结

本讲我们学习了利用定积分计算平面图形面积的元素法。关键在于选择合适的坐标系（直角或极坐标），正确设定积分上下限，并列出被积函数（通常是边界曲线的差或极径的平方）。通过大量的练习，可以熟练掌握这一重要应用。下一讲我们将探讨定积分在其他几何量（如体积、弧长）计算中的应用。