人工智能之数学基础：特征值分解与奇异值分解的区别分析

本文重点

矩阵分解是线性代数的核心工具，广泛应用于数据分析、信号处理、机器学习等领域。特征值分解与奇异值分解在数学定义、适用范围、几何意义、计算方法、应用场景及稳定性方面存在显著差异。EVD 适用于方阵，强调矩阵的固有属性；SVD 适用于任意矩阵，揭示矩阵的内在结构。实际应用中，应根据矩阵类型与问题需求选择合适的分解技术。

数学定义与公式

特征值分解与奇异值分解作为两种经典方法，分别针对方阵与任意矩阵，揭示矩阵的本质特性。深入理解两者的差异，有助于选择合适的分解技术解决实际问题。

• 特征值分解：
  设 A 为 n×n 方阵，若存在标量 λ 及非零向量 v，使得 Av=λv，则称 λ 为特征值，v 为对应特征向量。矩阵 A 可分解为：A=QΛQ−1其中 Q 为特征向量组成的正交矩阵，Λ 为对角矩阵（对角线元素为特征值）。
• 奇异值分解：
  设 A 为 m×n 矩阵，则存在正交矩阵 U（m×m）、V（n×n）及对角矩