【LeetCode 题解】算法：36.有效的数独
一、问题剖析
在算法领域中，数独问题是一个经典且有趣的逻辑验证题目。本题的核心任务是判断一个给定的 9x9 数独是否有效。判断的依据是数独的基本规则：数字 1-9 在每一行、每一列以及每一个 3x3 的宫内都只能出现一次。同时，题目中明确指出，空白格用 '.' 表示，并且一个有效的数独（部分已被填充）不一定是可解的，我们只需验证已填入数字的有效性即可。
二、解题思路
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行的验证：遍历数独的每一行，使用一个布尔数组来记录数字 1-9 是否出现过。在遍历每一行的过程中，对于每个数字，如果该数字已经在当前行出现过（即布尔数组对应位置为 true），则说明该行无效，直接返回 false；如果该数字为 '.'，则跳过继续遍历；如果遍历完一行，没有出现重复数字，则该行有效。
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列的验证：类似于行的验证，遍历数独的每一列。同样使用一个布尔数组来记录数字 1-9 是否出现过。在遍历每一列的过程中，对于每个数字，检查其是否已经在当前列出现过，若出现重复则返回 false；遇到 '.' 则跳过；遍历完一列没有重复数字则该列有效。
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3x3 宫的验证：将数独划分为 9 个 3x3 的宫，遍历每个宫。对于每个宫，使用一个布尔数组来记录数字 1-9 是否出现过。通过计算每个宫的起始位置，然后遍历宫内的每个数字，检查是否出现重复，若出现重复则返回 false；遇到 '.' 则跳过；遍历完一个宫没有重复数字则该宫有效。
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整体判断：当行、列、宫都验证通过后，说明这个数独是有效的，返回 true；只要有一个部分验证不通过，就返回 false。
三、Java 代码实现
public class ValidSudoku {
public boolean isValidSudoku(char[][] board) {
// 验证每一行
for (int i = 0; i < 9; i++) {
boolean[] row = new boolean[9];
for (int j = 0; j < 9; j++) {
if (board[i][j] != '.') {
int num = board[i][j] - '1';
if (row[num]) {
return false;
}
row[num] = true;
}
}
}
// 验证每一列
for (int j = 0; j < 9; j++) {
boolean[] col = new boolean[9];
for (int i = 0; i < 9; i++) {
if (board[i][j] != '.') {
int num = board[i][j] - '1';
if (col[num]) {
return false;
}
col[num] = true;
}
}
}
// 验证 3x3 宫
for (int startRow = 0; startRow < 9; startRow += 3) {
for (int startCol = 0; startCol < 9; startCol += 3) {
boolean[] box = new boolean[9];
for (int i = startRow; i < startRow + 3; i++) {
for (int j = startCol; j < startCol + 3; j++) {
if (board[i][j] != '.') {
int num = board[i][j] - '1';
if (box[num]) {
return false;
}
box[num] = true;
}
}
}
}
}
return true;
}
}
四、代码详细解析
1、行的验证代码：
// 验证每一行
for (int i = 0; i < 9; i++) {
boolean[] row = new boolean[9];
for (int j = 0; j < 9; j++) {
if (board[i][j] != '.') {
int num = board[i][j] - '1';
if (row[num]) {
return false;
}
row[num] = true;
}
}
}
外层循环 for (int i = 0; i < 9; i++) 遍历数独的每一行。每次进入循环，创建一个长度为 9 的布尔数组 row 用于记录当前行数字 1-9 的出现情况。内层循环 for (int j = 0; j < 9; j++) 遍历当前行的每一个数字。如果当前数字不是 '.'，将其转换为数组索引（通过 board[i][j] - '1'），检查该索引对应的布尔值是否为 true，若为 true 则说明数字重复，返回 false；若为 false，则将其设置为 true 表示该数字已出现。
2、列的验证代码：
// 验证每一列
for (int j = 0; j < 9; j++) {
boolean[] col = new boolean[9];
for (int i = 0; i < 9; i++) {
if (board[i][j] != '.') {
int num = board[i][j] - '1';
if (col[num]) {
return false;
}
col[num] = true;
}
}
}
外层循环 for (int j = 0; j < 9; j++) 遍历数独的每一列。每次进入循环，创建一个长度为 9 的布尔数组 col 用于记录当前列数字 1-9 的出现情况。内层循环 for (int i = 0; i < 9; i++) 遍历当前列的每一个数字。逻辑与行的验证类似，检查当前数字是否重复，若重复则返回 false。
3、3x3 宫的验证代码：
// 验证 3x3 宫
for (int startRow = 0; startRow < 9; startRow += 3) {
for (int startCol = 0; startCol < 9; startCol += 3) {
boolean[] box = new boolean[9];
for (int i = startRow; i < startRow + 3; i++) {
for (int j = startCol; j < startCol + 3; j++) {
if (board[i][j] != '.') {
int num = board[i][j] - '1';
if (box[num]) {
return false;
}
box[num] = true;
}
}
}
}
}
外层的两个循环 for (int startRow = 0; startRow < 9; startRow += 3) 和 for (int startCol = 0; startCol < 9; startCol += 3) 用于遍历 9 个 3x3 的宫。每次进入循环，创建一个长度为 9 的布尔数组 box 用于记录当前宫数字 1-9 的出现情况。内层的两个循环 for (int i = startRow; i < startRow + 3; i++) 和 for (int j = startCol; j < startCol + 3; j++) 遍历当前宫的每一个数字，检查是否重复，若重复则返回 false。
4、最终返回结果：
return true;
当行、列、宫都验证通过后，说明数独有效，返回 true。
五、复杂度分析
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时间复杂度：整个算法需要遍历数独的每一行、每一列以及每一个 3x3 的宫。数独的大小为 9x9，对于行的验证，需要遍历 9 行，每行 9 个数字，时间复杂度为 (O(9times9))；列的验证同理，时间复杂度也为 (O(9times9))；3x3 宫的验证，需要遍历 9 个宫，每个宫有 9 个数字，时间复杂度为 (O(9times9))。所以总的时间复杂度为 (O(9times9 + 9times9 + 9times9) = O(243) = O(1))，因为 9 是固定的常数。
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空间复杂度：在验证过程中，我们使用了布尔数组来记录数字的出现情况。对于每一行、每一列以及每一个 3x3 的宫，都创建了一个长度为 9 的布尔数组，总共需要的空间为 (9 + 9 + 9 = 27)，也是一个固定的常数，所以空间复杂度为 (O(1))。
六、测试用例验证
1、测试用例 1：
public class Main {
public static void main(String[] args) {
ValidSudoku solution = new ValidSudoku();
char[][] board1 = {
{'5', '3', '.', '.', '7', '.', '.', '.', '.'},
{'6', '.', '.', '1', '9', '5', '.', '.', '.'},
{'.', '9', '8', '.', '.', '.', '.', '6', '.'},
{'8', '.', '.', '.', '6', '.', '.', '.', '3'},
{'4', '.', '.', '8', '.', '3', '.', '.', '1'},
{'7', '.', '.', '.', '2', '.', '.', '.', '6'},
{'.', '6', '.', '.', '.', '.', '2', '8', '.'},
{'.', '.', '.', '4', '1', '9', '.', '.', '5'},
{'.', '.', '.', '.', '8', '.', '.', '7', '9'}
};
System.out.println(solution.isValidSudoku(board1)); // 输出: true
}
}
2、测试用例 2：
public class Main {
public static void main(String[] args) {
ValidSudoku solution = new ValidSudoku();
char[][] board2 = {
{'8', '3', '.', '.', '7', '.', '.', '.', '.'},
{'6', '.', '.', '1', '9', '5', '.', '.', '.'},
{'.', '9', '8', '.', '.', '.', '.', '6', '.'},
{'8', '.', '.', '.', '6', '.', '.', '.', '3'},
{'4', '.', '.', '8', '.', '3', '.', '.', '1'},
{'7', '.', '.', '.', '2', '.', '.', '.', '6'},
{'.', '6', '.', '.', '.', '.', '2', '8', '.'},
{'.', '.', '.', '4', '1', '9', '.', '.', '5'},
{'.', '.', '.', '.', '8', '.', '.', '7', '9'}
};
System.out.println(solution.isValidSudoku(board2)); // 输出: false
}
}
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