边缘分布的定义与公式详解

1. 边缘分布的定义

边缘分布（Marginal Distribution）是多维随机变量中某个单一变量的概率分布，它通过“忽略”其他变量的影响，仅关注该变量的统计特性。例如，对于二维随机变量， 的边缘分布描述了单独的概率行为，而不考虑的取值。

数学定义：

• 联合分布函数:
• 的边缘分布函数：
• 的边缘分布函数：

对于连续型变量，**边缘概率密度函数（PDF）**通过对联合密度函数积分得到：

2. Copula与联合分布的构造

根据 Sklar定理，任何联合分布均可分解为：

• 是第个变量的边缘分布函数。
• 是 Copula 函数，描述变量间的相关性结构。

联合概率密度函数（PDF） 则为：

其中是 Copula 的密度函数，是各变量的边缘密度函数。

3. 实际例子：二维联合分布建模

假设风电出力和光伏出力的边缘分布分别为 Weibull分布 和 Beta分布，其概率密度函数为：

Weibull分布：

Beta分布：

其中是 Beta 函数。

选择 Gaussian Copula 描述两者的相关性，其 Copula 函数为：

其中：

• 是均值为0、协方差矩阵为的二维正态分布函数。

• 是标准正态分布的逆函数。

• 是风电和光伏的边缘分布函数值。

4. 总结

• 边缘分布是分析单一变量统计特性的基础，通过积分或极限从联合分布中提取。

• Copula函数通过分离边缘分布与相关性，灵活构建联合分布，适用于非对称、非线性相关场景（如风光出力）。

• 实际建模需结合领域知识选择边缘分布（如Weibull/Beta）和Copula类型（如Gaussian/Frank）。