【学Rust写CAD】31 muldiv255函数（muldiv255.rs）

源码

// Calculates floor(a*b/255 + 0.5)
#[inline]
pub fn muldiv255(a: u32, b: u32) -> u32 {
    // The deriviation for this formula can be
    // found in "Three Wrongs Make a Right" by Jim Blinn.
    let tmp = a * b + 128;
    (tmp + (tmp >> 8)) >> 8
}

代码分析

这个 muldiv255 函数是一个高效的实现，用于计算 floor(a * b / 255 + 0.5)，也就是将两个无符号整数 a 和 b 相乘，然后除以 255，并进行四舍五入。这种计算在图像处理中很常见，比如在 alpha 混合（alpha blending）或颜色空间转换时。

步骤分解：

1. a * b + 128:

• 首先计算 a * b，然后加上 128。这个 128 的作用是为了后续的四舍五入（因为 255 / 2 = 127.5，所以加 128 可以确保正确的舍入）。

2. tmp + (tmp >> 8):

• tmp >> 8 相当于 tmp / 256（右移 8 位相当于除以 2^8）。

• 然后 tmp + (tmp >> 8) 相当于 tmp + tmp / 256。

3. 8:

• 最后右移 8 位，相当于除以 256。

为什么这个公式有效？

这个方法的数学原理来自 Jim Blinn 的文章 “Three Wrongs Make a Right”，它利用了近似计算来避免昂贵的除法运算（因为整数除法在 CPU 上通常比乘法和移位慢）。

• 原本的计算是 (a * b + 127) / 255（四舍五入）。

• 但 (a * b + 128) * 257 / 65536（即 (tmp + (tmp >> 8)) >> 8）是一个近似计算，可以高效地用移位和加法实现。

数学推导：

1. 我们希望计算 (a * b + 127) / 255（四舍五入）。

2. 可以近似为 (a * b + 128) * (256 + 1) / 65536（因为 255 ≈ 65536 / 257）。

展开后：

(a * b + 128) * (256 + 1) / 65536
= (256*(a*b + 128) + (a*b + 128)) / 65536
= ( (a*b + 128) << 8 + (a*b + 128) ) >> 16
= (tmp << 8 + tmp) >> 16
= (tmp + (tmp >> 8)) >> 8

最终得到 (tmp + (tmp >> 8)) >> 8。

示例

假设 a = 100, b = 200：

1. tmp = 100 * 200 + 128 = 20000 + 128 = 20128

2. tmp >> 8 = 20128 / 256 = 78

3. tmp + (tmp >> 8) = 20128 + 78 = 20206

20206 >> 8 = 20206 / 256 = 78（实际 100 * 200 / 255 ≈ 78.431，四舍五入得 78）

为什么不用 (a * b + 127) / 255？

虽然 (a * b + 127) / 255 也能得到正确结果，但：

• 除法 (/ 255) 在 CPU 上通常比移位和加法慢。

• 这个优化方法避免了除法，改用移位和加法，性能更高。

适用场景

• 图像处理（如 alpha 混合、颜色计算）。

• 需要高效计算 (a * b) / 255 并四舍五入的情况。

总结

这个函数巧妙地利用移位和加法来近似计算 (a * b) / 255 并四舍五入，避免了昂贵的除法运算，是一种高效的位操作优化方法。