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2009年第6题

将森林转换为对应的二叉树，若在二叉树中，结点 u 是结点 v 的父结点的父结点，则在原来的森林中，u 和 v 可能具有的关系是（ ）

I. 父子关系
Ⅱ. 兄弟关系
Ⅲ. u 的父结点与 v 的父结点是兄弟关系

A. 只有 Ⅱ \qquad B. Ⅰ 和 Ⅱ \qquad C. Ⅰ 和 Ⅲ \qquad D. I、II 和 III

详解

本题所考查的知识点：

1. 森林转换为二叉树的方法

（1）将一棵树转换为二叉树的过程如下：

1. 树中所有相邻兄弟之间加一条连线；
2. 对树中的每个结点只保留它与左数第一个孩子之间的连线，删除与其他孩子之间的连线；
3. 以树的根结点为轴心，将整棵树顺时针转动 45°，使之结构层次分明。

上述过程中，每个结点左指针指向该结点的第一个孩子，右指针指向它在树中的相邻右兄弟，即“左孩子右兄弟”规则。根结点没有兄弟，故对应的二叉树没有右子树。

（2）森林是由两棵或两棵以上的树构成的，将森林转换为二叉树的过程如下：

1. 将森林中的每棵树转换成相应的二叉树。
2. 第一棵二叉树不动，从第二棵二叉树开始，依次把后一棵二叉树的根结点作为前一棵二叉树根结点的右孩子结点，当所有二叉树连在一起后，即得到的二叉树就是森林转换得到的二叉树。

2. 二叉树还原为树

二叉树还原为树的基本方法是：将二叉树中的左分支保持不变，右分支还原成兄弟关系。具体过程如下：

1. 若某结点是双亲的左孩子，则把该结点的右孩子、右孩子的右孩子等都与该结点的双亲结点用连线连接起来。
2. 删除原二叉树中所有双亲结点与右孩子结点之间的连线。
3. 整理由前面所得到的树，即以根结点为轴心，逆时针转动 45°，使之结构层次分明。

3. 二叉树还原为森林

若一棵二叉树是由 $m$ 棵树构成的森林转换而来的，该二叉树的根结点一定有 $m-1$ 个右孩子，该二叉树还原为森林的过程：

1. 抹掉二叉树根结点右链上的所有结点之间的“双亲—右孩子”关系，将其分成若干个以右链上的结点为根结点的二叉树，设这些二叉树为 $b_{t_1},b_{t_2},\cdots ,b_{t_m}$
2. 分别将上述二叉树各自还原成一棵树。

根据上述知识，分析本题。在二叉树中，“结点 u 是结点 v 的父结点的父结点”，有如下图所示的几种情况，并将每种情况下的二叉树还原为树（局部），根据还原的结果可以看出 u 和 v 两个结点的可能关系。

本题答案：B