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护肤品网站制作网新科技旅游营销的网站建设

wzjs 2025/9/6 20:45:50

护肤品网站制作网新科技,旅游营销的网站建设,营销型平台网站,wordpress标签并集显示目录一、算法的五大特性二、算法复杂度分析 1. 时间复杂度 2. 常见复杂度示例三、递归算法 1. 核心要素 2. 时间复杂度分析真题示例： 算法A时间复杂度求解算法B与算法A比较四、分治法 1. 核心思想 2. 典型应用五、动态规划法（Dyna…

一、算法的五大特性

二、算法复杂度分析

1. 时间复杂度

2. 常见复杂度示例

三、递归算法

1. 核心要素

2. 时间复杂度分析

真题示例：

算法A时间复杂度求解

算法B与算法A比较

四、分治法

1. 核心思想

2. 典型应用

五、动态规划法（Dynamic Programming, DP）

1. 核心思想

2. 实现步骤

3. 经典问题：0-1背包问题

一、算法的五大特性

有穷性：算法必须在有限步骤内终止，每步执行时间有限。
确定性：指令无歧义，相同输入必得相同输出。
可行性：操作可通过基本运算（如加减乘除）有限次实现。
输入：允许零或多个输入，取自特定集合。
输出：至少一个输出，与输入存在逻辑关联。

二、算法复杂度分析

1. 时间复杂度

定义：用函数 T(n) 表示输入规模 n 与基本操作数的关系。
三种情况：
- 最佳情况（最少操作，如查找元素在首位）。
- 最坏情况（最多操作，如元素不在数组中）。
- 平均情况（期望操作数）。
渐进符号：
- O(n)：上界（最坏情况）。
- Ω(n)：下界（最佳情况）。
- Θ(n)：紧确界（精确复杂度）。

2. 常见复杂度示例

复杂度	示例代码场景
O(1)	高斯求和公式 `sum = (1+n)*n/2`
O(n)	单层循环遍历数组
O(n2)	嵌套循环（如冒泡排序）
O(logn)	循环中变量指数增长（如 `count *= 2`）

三、递归算法

1. 核心要素

递归出口：终止条件（如阶乘中 n=0 返回1）。
递归体：问题分解为更小同类问题（如 n * Factorial(n-1)）。

2. 时间复杂度分析

展开法：将递归式展开为求和式。
示例：

真题示例：

已知算法A的运行时间函数为T(n)=8T(n/2)+n^2，其中n表示问题的规模，则该算法的时间复杂度为（62 ）。另已知算法B的运行时间函数为T(n)=XT(n/4)+n^2，其中n表示问题的规模。对充分大的n，若要算法B比算法A快，则X的最大值为（）。

（62）A. Θ(n) B. Θ(nlgn) C. Θ(n^2)

D. Θ(n^3) A. 15 B. 17 C. 63 D. 65

算法A时间复杂度求解

对于算法A，其运行时间函数为 $T(n)=8T(\frac{n}{2}) + n^2$ ，这里可以使用主定理（Master - Theorem）来求解时间复杂度。主定理的一般形式为：对于 $T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n)$ （a≥1，b>1），比较 f(n) 与 $n^{\log_b a}$ 的关系来确定时间复杂度。

在 T(n)=8T(2n)+n2 中，a=8，b=2，则 $n^{\log_b a}=n^{\log_2 8}=n^3$ ， $f(n)=n^2$ 。
因为 $f(n)=O(n^{\log_2 8 - \epsilon})$ （ϵ>0 ，这里 ϵ=1 ， $n^2=O(n^{3 - 1})$ ），所以 T(n)=Θ(n3) 。

算法B与算法A比较

对于算法B，其运行时间函数为 $T(n)=XT(\frac{n}{4})+n^2$ ，同样使用主定理，这里 a=X ，b=4 ，则 $n^{\log_b a}=n^{\log_4 X}$ ， $f(n)=n^2$ 。要使算法B比算法A快，即算法B的时间复杂度要小于算法A的时间复杂度 Θ(n3) 。根据主定理，当 $f(n)=O(n^{\log_4 X-\epsilon})$ 时， $T(n)=\Theta(n^{\log_4 X})$ ，为了使 T(n)<Θ(n3) ，则需要 $\log_4 X<3$ 。根据对数的性质，将其转化为指数形式， $X < 4^3$ ，即 X<64 ，所以 X 的最大值为 63 。

解析：T(n)公式中本就有n²，而且还是一个递推公式，递归公式中也有n/2，可知实际有n³个数量级；算法B比A快，可令XT(n/4)+n²<8T(n/2)+n²，推导出X<8T(n/2)/T(n/4)，将括号内分母取出，因为是n³级别，取出后上述公式可转化为X<8*(1/2)³T(n)/(1/4)³T(n)，进一步简化消除可得X<1/(1/64)，即X<64，X最大值为63。

四、分治法

1. 核心思想

三步流程：
1. 分解：将问题划分为独立子问题（如归并排序中将数组二分）。
2. 求解：递归解决子问题（子数组排序）。
3. 合并：合并子问题的解（合并有序子数组）。

2. 典型应用

归并排序、快速排序、二分查找。

五、动态规划法（Dynamic Programming, DP）

1. 核心思想

与分治法的区别：
- 分治法：子问题独立，无重叠，递归求解（如归并排序）。
- 动态规划：子问题存在重叠，需存储中间结果（填表法）避免重复计算。
适用条件：
- 最优子结构：全局最优解包含局部最优解（如背包问题的最优解由子问题最优解构成）。
- 重叠子问题：子问题被多次重复计算（如斐波那契数列）。

2. 实现步骤

定义最优解的结构：明确问题如何分解为子问题（如背包问题的物品选择策略）。
递归或迭代计算最优值：
- 自顶向下：带备忘录的递归（记忆化搜索）。
- 自底向上：填表法（如二维数组递推）。
构造最优解：根据计算结果回溯路径（如背包问题中哪些物品被选中）。

3. 经典问题：0-1背包问题

有n个物品，第i个物品价值为vi，重量为wi，其中vi和wi均为非负数，背包的容量为W，W为非负数。现需要考虑如何选择装入背包的物品，使装入背包的物品总价值最大。

满足约束条件的任一集合(x1, x2, …, xn)是问题的一个可行解，问题的目标是要求问题的一个最优解。考虑一个实例，假设n = 5，W = 17，每个物品的价值和重量如表所示，可将物品1、2和5装入背包，背包未满，获得价值22，此时问题解为(1, 1, 0, 0, 1)；也可以将物品4和5装入背包，背包装满，获得价值24，此时解为(0, 0, 0, 1, 1)。

>物品编号 >1 >2 >3 >4 >5
价值v 4 5 10 11 13
重量w 3 4 7 8 9

>物品编号	>1	>2	>3	>4	>5
价值v	4	5	10	11	13
重量w	3	4	7	8	9

(1) 刻画0 - 1背包问题的最优解的结构。可以将背包问题的求解过程看作是进行一系列的决策过程，即决定哪些物品应该放入背包，哪些物品不放入背包。如果一个问题的最优解包含了物品n，即xn = 1，那么其余x1，x2，…，xn - 1一定构成子问题1, 2, …, n - 1在容量为W - wn时的最优解。如果这个最优解不包含物品n，即xn = 0，那么其余x1，x2，…，xn - 1一定构成子问题1, 2, …, n - 1在容量为W时的最优解。

(2) 递归定义最优解的值。根据上述分析的最优解的结构递归地定义问题最优解。设c[i, w]表示背包容量为w时i个物品导致的最优解的总价值，得到下式。显然，问题要求c[n, W]。

基本情况（Base Case）：

当物品数量 i=0（没有物品可选）或背包容量 w=0（无法装任何物品）时，最大价值 $c[i, w] = 0$
当前物品太重，无法装入背包：
如果当前物品 i 的重量 wi>w（超过剩余容量），则不能选它，最优解等于前 i−1 个物品在容量 w 下的最优解：
当前物品可以装入背包：
如果 wi≤w，则需要决策是否选择物品 i：
选：价值增加 vi，剩余容量减少 wi，即 $c[i - 1, w - w_i] + v_i$
不选：保持前 i−1 个物品的解，即 $c[i - 1, w]$
取两者中的最大值：