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射影几何

射影变换的性质

• 保持直线性：射影变换保留直线，即直线映射后的图像仍然是直线。
• 不保留形状、长度、角度、距离：例如，圆可能被映射为椭圆，长度与角度可能会改变。

射影几何的引入

• 欧氏几何的局限性：平行线不相交的问题导致例外情况。
• 无穷远点的引入：通过在平行线交点处添加“理想点”，扩展欧氏空间为射影空间。
• 射影空间的优势：所有直线（包括原本平行的直线）都相交，使几何推理更加统一与简洁。（大一统的魅力！！！）

射影空间的意义

• 作为欧氏空间的扩展，提供了一种更一般化的几何框架，简化了许多几何推理。

齐次坐标的定义

• 在二维欧氏空间，点 $(x,y)$ 可用三元组 $(x,y,\lambda )$ 表示，其中 $\lambda \ne 0$。

• 两个坐标三元组 $(x,y,\lambda )$ 和 $(kx,ky,k\lambda )$（$k\ne 0$）表示同一点，形成一个等价类。（数学概念）

• 通过归一化（即除以 $\lambda$），可以恢复原始坐标 $(x,y)$：

  $$\left(x,y,\lambda \right)\to \left(\frac{x}{\lambda },\frac{y}{\lambda }\right)$$

** 无穷远点的引入**

• 当齐次坐标的最后一个分量 $\lambda =0$ 时，无法归一化（不能除0），得到的点在无穷远处。
• 这些点称为无穷远点，用于扩展欧氏空间到射影空间。

射影空间的构造

• 通过齐次坐标扩展 ${\mathbb{R}}^n$ 到射影空间 ${\mathbb{P}}^n$。（欧式空间到射影空间）

• 二维射影空间中的无穷远点形成一条无穷远直线：

  $$\{(x,y,0)\mid x,y\in \mathbb{R}\}$$

• 三维射影空间中的无穷远点构成一个无穷远平面：
  $$\{(x,y,z,0)\mid x,y,z\in \mathbb{R}\}$$

射影空间的意义

• 统一了有限点和无穷远点，使几何结构更加对称和简洁。
• 使欧氏几何中的某些特殊情况（如平行线不相交）得到自然处理。

齐次性的概念

• 在欧氏几何中，所有点是等价的，空间是齐次的，即没有特殊的点。（如何理解空间是齐次的：齐次性意味着空间在任何地方看起来都是一样的，没有特殊的"绝对位置"。换句话说，空间的物理定律和性质与位置无关。）
• 坐标系的选择会人为地引入一个原点，但原点的选择是任意的。
• 欧氏变换（包括平移和旋转）保持空间的齐次性。

仿射变换

• 由线性变换和欧氏变换（即平移、旋转、缩放）组成。
• 无穷远点保持在无穷远，作为一个整体被保留。

** 射影几何的均匀性**

• 在射影空间中，无穷远点与普通点无区别，整个空间仍然是齐次的。
• 无穷远点的坐标形式（最后坐标为零）只是坐标系选择的结果。

射影变换

• 射影空间中的变换由非奇异矩阵（可逆矩阵：非奇异矩\可逆矩阵阵代表一个可逆的线性变换，它不会改变空间的维度，可以将一个向量映射到另一个向量，且映射是可逆的）作用于齐次坐标向量：
  $$X^{\prime }=HX$$

• 不同于欧氏和仿射变换，射影变换可以将无穷远点映射到有限点，反之亦然（vice versa，煮啵新学的短语，嘿嘿！）。

计算机视觉中的应用

• 三维世界 $\to$ 三维射影空间，便于表示和计算。
• 图像 $\to$ 二维射影空间，用于处理投影关系。
• 无穷远点的现实意义：虽然真实世界没有无穷远点，但在计算时需要特别处理无穷远直线（图像中）和无穷远平面（真实世界中）。
• 在实践中，尽管射影几何理论上所有点等价，但在某些情况下，仍需特殊关注无穷远直线和平面以解决实际问题。