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  • 【高等数学】（2）函数

1. 映射的定义

设$X,Y$是两个非空集合
如果存在一个法则$f$，使得对$X$中的每个元素$x$，按法则$f$，在$Y$中有唯一确定的元素$y$与之对应
那么称$f$为从$X$到$Y$的映射，记作$$f:X\to Y,$$其中$y$称为元素$x$（在映射$f$下）的像，并记作$f(x)$，即$$y=f(x),$$而元素$x$称为元素$y$在（在映射$f$下）的原像；集合$X$称为映射$f$的定义域，记作$D_f$，即$D_f=X$；$X$中所有元素的像所组成的集合称为映射$f$的值域，记作$R_f$或$f(X)$，即 R f = f ( X ) = { f ( x ) ∣ x ∈ X } ⊂ Y . R_f=f(X)=\{f(x)|x\in X\}\subset Y. Rf​=f(X)={f(x)∣x∈X}⊂Y.

2. 映射的分类

2.1. 针对$X,R_f,Y$之间的关系

• 满射
  若$R_f=Y$，即$Y$中任一元素$y$都是$X$中某元素的像
  则称$f$为$X$到$Y$上的映射或满射
• 单射
  若对$X$中任意两个不同元素$x_1\ne x_2$，它们的像$f(x_1)\ne f(x_2)$
  则称$f$为$X$到$Y$的单射
• 双射
  若映射$f$既是单射，又是满射
  则称$f$为一一映射或双射

2.2. 针对$X,Y$本身的构成

• 泛函
  从非空集$X$到数集$Y$的映射称为$X$上的泛函
• 变换
  从非空集$X$到它自身的映射称为$X$上的变换
• 函数
  从实数集（或其子集）$X$到实数集$Y$的映射称为定义在$X$上的函数

3. 映射的运算

• 逆映射
  设$f$是$X$到$Y$的单射
  定义一个从$R_f$到$X$上的新映射$g$，即$$g:R_f\to X$$对每个$y\in R_f$，规定$g(y)=x$，这$x$满足$f(x)=y$
  这个映射$g$称为$f$的逆映射，记作$f^{-1}$，其定义域$D_{f^{-1}}=R_f$，值域$R_{f^{-1}}=X$
• 复合映射
  设有两个映射$$g:X\to Y_1,f:Y_2\to Z,$$其中$Y_1\subset Y_2$
  定义一个从$X$到$Z$的新映射，它对每个$x\in X$都有对应的$f[g(x)]\in Z$
  这个映射称为映射$g$和$f$构成的复合映射，记作$f\circ g$，即$$f\circ g:X\to Z,(f\circ g)(x)=f[g(x)],x\in X$$