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wzjs 2025/8/15 5:09:22

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【机器学习】图解随机梯度下降（SGD）：你为什么需要它？

在现代机器学习训练中，梯度下降（Gradient Descent）是优化模型参数最核心的算法之一，而其中的“随机梯度下降（SGD）”则是高效处理大规模数据的关键技术。

本文通过一张直观手绘图，拆解随机梯度下降背后的数学逻辑、更新机制和执行流程，帮助你用最清晰的方式理解这个看似简单却至关重要的优化策略。

一、什么是随机梯度下降？

梯度下降的目标是：通过不断调整参数，使损失函数 Loss 达到最小值。

在传统（批量）梯度下降中，我们每次都会用整个训练集来计算梯度，这在数据量庞大时代价非常高。而**随机梯度下降（SGD）**则只使用一个训练样本就更新一次参数。

这极大地加快了迭代速度，也提高了模型收敛效率。

二、SGD 的核心公式解析

图中展示的是 SGD 的参数更新公式：

$\mathbf{w'} = \mathbf{w} - \eta \cdot \nabla \text{Loss}(\mathbf{w}, x_i, y_i)$

我们逐一解析这个公式的含义：

符号	含义	图中备注
$\mathbf{w}$	当前模型参数（如权重）	“参数”
$\mathbf{w'}$	更新后的参数	“已更新参数”
η	学习率（Learning Rate）	“学习率”
$\nabla \text{Loss}$	当前参数下损失函数对参数的梯度	“梯度”
$x_i, y_i$	当前的一个样本数据	“独立值 x 和 y”

直观地说，我们在每次迭代时：

观察一个样本 $(x_i, y_i)$ ，计算当前模型在该样本上的损失（Loss），然后按照损失函数对参数 $\mathbf{w}$ 的导数方向进行调整。

三、SGD 的执行流程图解

图中给出了 SGD 的三步执行流程：

随机重排整个观测集
- 在每个 epoch 开始前，打乱样本顺序，以避免模型受样本分布的顺序影响。
对每一个观测值进行更新
- 每次选取一个样本 $(x_i, y_i)$ ，计算该样本的损失梯度，并立刻更新参数 w\mathbf{w}w。
重复（1）、（2）直到收敛
- 多轮（epoch）重复，直到参数不再明显变化或达到预设轮数。

这与批量梯度下降（每次使用整个训练集计算平均梯度）相比，在效率和泛化能力上都有显著优势。

四、SGD 的优点和缺点

优点：

计算效率高：不需要遍历整个数据集即可更新参数；
更快收敛：尤其在冗余数据集上更高效；
能跳出局部最优：更新中自带“噪声”，有助于跳出鞍点或局部最小值；
适合在线学习：数据流式输入时可实时更新模型。

缺点：

更新不稳定：每次用一个样本更新，路径更“抖”；
收敛过程波动大：Loss 曲线不像批量梯度下降那样平滑；
需要调参技巧：学习率 η\etaη 不合理会导致发散或过慢。

五、SGD 在实际中的改进版本

现代深度学习中，几乎不会直接使用“纯SGD”，而是使用其变体：

算法	简述
SGD with Momentum	加入“惯性项”，减少震荡，提高稳定性
Adagrad / RMSprop / Adam	自适应学习率，根据梯度变化调整更新幅度
Mini-batch SGD	一次用多个样本（如 32/64）而不是单个样本更新，提高稳定性

六、Python 示例：使用 PyTorch 实现 SGD

import torch
import torch.nn as nn# 假设一个简单的线性模型
model = nn.Linear(10, 1)# 使用 SGD 优化器
optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01)# 假设一个训练样本
x = torch.randn(1, 10)
y = torch.tensor([[1.]])# 损失函数
criterion = nn.MSELoss()# 前向传播
output = model(x)
loss = criterion(output, y)# 后向传播 + 参数更新
optimizer.zero_grad()
loss.backward()
optimizer.step()