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一、多维特征

1.1、什么是多维特征？

1）在我们的原始估计房价的版本中，我们只有一个变量：$x$ 来预估 $y$

2）但是现在假设你也知道其他的参数变量，那么我们就可以引入多个参数来提高预测$y$的准确性。（这就是多维特征）

• $x$_i表示第i个特征变量
• 向量x⁽²⁾表示第2组训练样例
  

3）此时，我们的预测方程模型就变成了：

4）但是，我们觉得这样表示会变得非常繁琐，因此我们可以引入向量来表示（因为我们可以直接使用numpy的函数库来直接计算）

二、矢量化

2.1、如何做矢量化？/做矢量化的优势有哪些？

1）在1.1中，我们发现可以通过矢量化来简化操作，但是，我们应该如何来进行矢量化呢？

• 下面是样例w1,w2,w3的矢量化结果
• 简单来说，就是将其装入一个array中
  

2）将其装入np.array()后我们就可以十分简单的对其操作

• 相比与没有矢量化的数据，我们只需要使用np.dot(w,x)即可
• np.dot是numpy中用来计算向量点积的函数
  

2.2）计算机底层是如何实现矢量化的？

• 用一句话来说：就是多线程同步计算
  
• 让我们来举一个例子更好说明np.dot()的并行操作
  

三、用于多元线性回归的梯度下降

3.1：使用矢量化后，线性回归方程的变化

1）把成本函数展开呢？会有什么不同呢？

• 我们发现，函数模型几乎没有变化，只是单独分别计算的每个训练样例的成本误差函数
  

四、特征放缩

4.1：什么是特征放缩？

1）仍然对于上述的多维特征方程，我们来观察他们的成本函数图像

• 我们可以发现由于x1和x2的取值大小数量级差别过大，这导致了我们的等高线图像变得很窄
• 也就意味着，我们的梯度下降的效率非常低下，需要非常多次的梯度下降才能找到全局最小值
  

2）在这种情况下，我们就需要采用特征放缩，来提高梯度下降的效率

4.2：如何实现特征放缩？

1）法1：类似于权值归一化，我们可以计算其每个数据占最大值的占比

2）法二：均值归一化

• 计算每个数据与均值的差，再计算占比
  

3）法三：标准差归一化（了解即可）

五、判断梯度下降是否收敛

5.1：我们如何判断梯度下降的优越性呢？如何计算梯度下降的次数呢？

• 我们可以通过画一个函数图像来实现:计算次数 --> $j(w)$
  

六、如何设置学习率

6.1：在前面的学习中，我们一直没有说明如何选择学习率，现在，让我们来用 $iterations->J(w,b)$ 函数图像来解决这个问题

1）我们函数图像我们可以发现，假设Alpha过大，我们可以轻易通过函数图像的收敛性看出

• 因此，我们可以不运行梯度下降，根据函数图像即可看出
  

2）因此，我们可以枚举Alpha的值从0.001，每次令其Alpha=*3来观察函数图像，计算其最适合的Alpha

七、特征方程与多项式回归

7.1：我们发现通过Alpha的选择，可以提高拟合效率/准确性，同样的，我们也可以通过输入样例来提高准确率

7.2：多项式回归提高准确性

1）在前面的数据中，我们都是用线性函数来拟合数据，那么如何将曲线、非线性函数拟合到数据中呢？

• 现在，我们有这样一个数据集，我们发现用线性比较难来拟合数据
  
• 因此我们考虑引入曲线函数来增加拟合程度
• 注意，此时我们的数据的数量集差别过大，所以应该使用特征放缩来优化 $J(W)$误差函数
  
  至于怎么选择曲线函数，我们会在下一周学到😄，下周见！！