曲线拟合 | Matlab基于贝叶斯多项式的曲线拟合

效果一览

代码功能

代码功能简述
目标：实现贝叶斯多项式曲线拟合，动态展示随着数据点逐步增加，模型后验分布的更新过程。

核心步骤：

数据生成：在区间[0,1]生成带噪声的正弦曲线作为训练数据。

参数设置：定义先验精度（alpha、beta）和多项式阶数（D=8）。

贝叶斯更新：每次迭代使用前j个数据点计算后验分布的均值和方差。

预测分布：对密集采样的X值计算预测均值和置信区间（±0.5σ）。

可视化：

实时绘制数据点、真实曲线、预测均值曲线和置信区间。

支持生成GIF动画，展示拟合过程的动态变化。

数学基础：基于贝叶斯线性回归公式，通过设计矩阵和协方差更新实现高效计算。

关键说明

bsxfun(@power, x2’, 0:D)'：生成多项式特征矩阵（例如，x^0, x^1, …, x^D）。

Sinv：权重后验分布的协方差矩阵的逆，结合了先验（aI）和似然项（bφφ^T）。

m(k)和s(k)：分别对应预测分布的均值和方差，体现贝叶斯模型对不确定性的量化。

置信区间填充：使用品红色半透明区域表示预测分布的范围，直观展示模型的不确定性随数据增加而降低的过程。

部分代码

clear;  % 清空工作区变量

a = 5e-3;       % alpha: 权重w的先验精度（控制模型复杂度）
b = 11.1;       % beta: 输入噪声的精度（控制数据拟合程度）
D = 8;          % 多项式阶数
M = D+1;        % 模型参数数量（从0次到D次）
W = 0.5*[1 -1]; % 预测分布的标准差倍数（用于置信区间）
% 随机打乱训练数据顺序（展示算法对数据顺序的鲁棒性）
ind = randperm(N);
t = t(ind); x = x(ind);
% 用户输入是否生成GIF动画
z = input('Make a GIF? (y/n): ','s');
if z == 'y', filename = 'bayesiancurvefit.gif'; end
clc;
%% 主循环：逐步添加数据点并更新贝叶斯模型
for j = 1:N
    %% 贝叶斯模型更新
    t2 = t(1:j); x2 = x(1:j);               % 取前j个数据点
    phi = bsxfun(@power, x2', 0:D)';         % 设计矩阵（多项式特征，维度[D+1 x j]）
    Sinv = a*eye(M) + b*(phi*phi');          % 权重后验协方差的逆（式1.72）
    PHI = bsxfun(@power, X', 0:D)';          % 密集采样的X对应的设计矩阵
    % 计算预测分布的均值和方差
    s = zeros(size(X)); m = s;
    for k = 1:length(X)
        % 均值计算（式1.70）
        m(k) = b * PHI(:,k)' * (Sinv \ (phi * t2'));
        % 方差计算（式1.71，包含噪声项1/b）
        s(k) = 1/b + PHI(:,k)' * (Sinv \ PHI(:,k));
    end
    %% 可视化结果
    f = figure(1); 
    clf; scatter(x2, t2, 'b', 'filled');     % 绘制当前数据点
    hold on; grid on; box on;
    axis([-0.1 1.1 -1.5 1.5]);              % 固定坐标轴范围
    % 绘制真实曲线（绿色）、预测均值（红色）
    plot(X, T, 'g', X, m, 'r-', 'LineWidth', 2);