每日一题之修建灌木

问题描述

爱丽丝要完成一项修剪灌木的工作。

有 N 棵灌木整齐的从左到右排成一排。爱丽丝在每天傍晩会修剪一棵灌 木, 让灌木的高度变为 0 厘米。爱丽丝修剪灌木的顺序是从最左侧的灌木开始, 每天向右修剪一棵灌木。当修剪了最右侧的灌木后, 她会调转方向, 下一天开 始向左修剪灌木。直到修剪了最左的灌木后再次调转方向。然后如此循环往复。

灌木每天从早上到傍晩会长高 1 厘米, 而其余时间不会长高。在第一天的 早晨, 所有灌木的高度都是 0 厘米。爱丽丝想知道每棵灌木最高长到多高。

输入格式

一个正整数 N, 含义如题面所述。

输出格式

输出 N 行, 每行一个整数, 第 ii 行表示从左到右第 ii 棵树最高能长到多高。

解题思路

1. 灌木的生长规律：

   • 每棵灌木在被修剪之前，每天都会长高1厘米。
   • 灌木的最高高度取决于它两次被修剪之间的时间间隔（即多少天没有被修剪）。

2. 修剪周期：

   • 对于N棵灌木，爱丽丝的修剪周期是：从左到右，再从右到左，形成一个来回。
   • 一个完整的修剪周期需要 2(N−1) 天（因为从最左到最右需要 N−1 天，再从最右到最左也需要 N−1 天）。

3. 每棵灌木的最大高度：

   • 对于第 i 棵灌木（从左到右编号为1到N），它两次被修剪之间的时间间隔是 2×max(i−1,N−i)。
     • 从左到右修剪时，第 i 棵灌木在第 i 天被修剪。
     • 从右到左修剪时，第 i 棵灌木在第 N−i+1 天被修剪（从右到左的第 N−i+1 天）。
     • 因此，两次修剪之间的天数是 i−1 和 N−i 中的较大值的两倍。

数学推导

• 第 i 棵灌木的最大高度为：max_height[i]=2×max(i−1,N−i)
• 这是因为：
  • 如果 i 靠近左侧（i≤N/2），则从右到左修剪时，它会在 2(N−i) 天后被修剪。
  • 如果 i 靠近右侧（i>N/2），则从左到右修剪时，它会在 2(i−1) 天后被修剪。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
    int N;
    cin >> N;
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
        cout << 2 * max(i - 1, N - i) << endl;
    }
    return 0;
}