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gamma函数与zeta函数的关系

news 2025/7/11 14:51:55

一、Zeta函数的积分表示

最常见、也是用途最广的一个表述是：

[
\zeta(s)
= \frac{1}{\Gamma(s)} \int_{0}^{\infty} \frac{t^{s-1}}{et - 1} , dt \quad \text{(在 Re(s) > 1 成立)}
]

1.1 利用Poisson求和公式的推导

目标：从 (\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}) 出发，将其转化为一段与 (\Gamma(s)) 相关的积分。

(1) Poisson求和公式

Poisson求和公式在形式上是将对整数点的求和连接到傅里叶变换的一种重要工具，其核心表达为：

[
\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) ;=; \sum_{k=-\infty}^{\infty} \widehat{f}(2\pi k),
]

其中 (\widehat{f}) 表示对 (f) 的傅立叶变换。要把它应用到 (\zeta(s)) 的场景时，需要对 (f) 进行巧妙的选择，使得 (\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}) 以某种形式出现。

(2) 引入Mellin变换

常见的做法是构造一个函数：

[
f(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{2} \left(\frac{1}{(x^2 + a²⁾{s/2}} \right) & x \in \mathbb{R}, \
0 & \text{otherwise},
\end{cases}
]

或类似形式，使得在做Mellin变换后能出现 (n^{-s})。将这类函数放进Poisson求和公式后，经过对傅里叶变换和Mellin变换的分析，就可得到 (\zeta(s)) 的积分表示。

(3) 将幂次项与Gamma函数拼接

借助Gamma函数定义：

[
\Gamma(s) = \int_{0}^{\infty} t^{s-1} e^{-t} , dt,
]

再通过某些指数变换 (\bigl(e^{-nx}\leftrightarrow \frac{1}{n^s}\bigr)) ，以及分解 (e^t - 1 = \sum_{n \geq 1} e^{-nt})，最终便能收敛到

[
\zeta(s)\Gamma(s)
= \int_0^\infty \frac{t^{s-1}}{et - 1} , dt.
]

于是得到

[
\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} ;\int_0^\infty \frac{t^{s-1}}{et - 1} , dt.
]

要点：在这个推导中，最主要的技巧是把 (\sum_{n=1}^\infty n^{-s}) 和 (\sum_{n=1}^\infty e^{-nt}) 建立联系。从而，Zeta函数与Gamma函数自然地结合出来。

二、Zeta函数与Gamma函数的函数方程

目标：证明著名的

[
\zeta(s)
= 2^s, \pi^{,s-1},
\sin!\Bigl(\tfrac{\pi,s}{2}\Bigr),
\Gamma(1-s),\zeta(1-s).
]

这个公式展现了 (\zeta) 在 (s \leftrightarrow (1-s)) 之间的对称性，而(\Gamma(1-s)) 恰恰扮演了不可或缺的桥梁。

2.1 核心思路概览

**Theta函数（或称Θ函数）**在推导中起到核心作用：
一般从爱尔兰数学家Jacobi引入的 (\Theta)-函数出发，利用它具有的变换性质 (\Theta(t) = \frac{1}{\sqrt{t}} \Theta\bigl(\frac{1}{t}\bigr))，再做Mellin变换，能自然地获得Zeta函数的对称关系。
使用Gamma函数的反射公式来配合：
(\Gamma(s)\Gamma(1-s) = \frac{\pi}{\sin(\pi s)}) 可以帮我们将 (\Gamma(s)) 和 (\Gamma(1-s)) 互相转化，得到 (\sin(\tfrac{\pi s}{2})) 那部分因子。

下面简要介绍Theta函数法和Poisson求和法（二者思想上密切相关）的一种典型推导。

2.2 使用Θ函数的推导（示意）

(1) 定义并列出其变换性质

令

[
\Theta(\tau)
= \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-\pi n^2 \tau},
\quad \text{Re}(\tau) > 0.
]

此函数满足Jacobi变换公式（也称模变换性质）：

[
\Theta(\tau)
= \frac{1}{\sqrt{\tau}} ;\Theta!\Bigl(\frac{1}{\tau}\Bigr).
]

(2) 构造Mellin变换联系Zeta函数

对 (\Theta(\tau)) 做Mellin变换，记

[
I(s) = \int_0^\infty \tau^{s-1} \bigl[\Theta(\tau) - 1\bigr] d\tau.
]

去掉 (\tau=0) 附近的常数(([\Theta(\tau)-1])以抵消(n=0)项)，就能在展开 (\Theta(\tau)) 后，形成 (\sum_{n\neq 0} e^{-\pi n^2 \tau})。

在这一步，通过讨论 (\Theta(\tau)) 的模变换，把 (\tau\mapsto \frac{1}{\tau}) 再移项后，往往会产生两种求和形式：(\sum_{n}\frac{1}{n^s})以及若干Gamma函数因子。经若干代数化简，就能出现 (\zeta(s)) 与 (\zeta(1-s)) 同时存在的形式。

(3) 用Gamma函数的反射公式处理正弦和(\Gamma)因子

推导的最后，通常会出现类似

[
\Gamma!\Bigl(\tfrac{s}{2}\Bigr)\Gamma!\Bigl(\tfrac{1-s}{2}\Bigr)
= \tfrac{\pi}{\sin(\tfrac{\pi s}{2})}.
]

将它替换到表达式中，配合 (\pi^{s/2}) 等幂次项，以及 2 的幂，会完美组合出

[
2^s,\pi{s-\tfrac12},\sin\left(\tfrac{\pi s}{2}\right),\Gamma!\Bigl(1-s\Bigr).
]

由此得到函数方程：

[
\boxed{
\zeta(s)
= 2^s, \pi^{s-1},
\sin!\Bigl(\tfrac{\pi s}{2}\Bigr),
\Gamma(1-s),\zeta(1-s).
}
]

要点：

(\Theta(\tau)) 的变换性质把 (\tau) 和 (\frac{1}{\tau}) 关联起来；
(\zeta(s)\leftrightarrow \zeta(1-s)) 的关系由Mellin变换下的(\tau\leftrightarrow \frac{1}{\tau})带来；
(\Gamma)-函数反射公式处理掉三角函数 + 幂次项。

三、总结与延伸

积分表示与函数方程是Zeta函数与Gamma函数间联系的两大基石：
- 积分表示说明了 (\zeta(s))“可以看作”一个加权相对数密度（在 (e^t-1) 意义下）。
- 函数方程则体现了 (\zeta(s)) 的对称性，而Gamma函数在桥接这个对称性时起到核心作用。
复分析与数论深度交织：
- Poisson求和、Jacobi变换、Mellin变换、Gamma函数反射公式，都是分析数论的“看家本领”，也反映了黎曼猜想背后的关键技术。
物理应用：
- 以上公式常在量子场论的正则化、统计力学（配分函数）、Casimir能量计算等出现，利用 (\Gamma) 与 (\zeta) 的组合来处理发散求和。