多元函数的链式法则：从单变量到高维的推广

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引言：链式法则的重要性

链式法则是微积分中最强大且应用最广泛的概念之一。它使我们能够计算复合函数的导数，无论这些函数是简单的单变量函数还是复杂的多元函数。本文将系统性地介绍链式法则的发展历程，从单变量情形开始，逐步推广到二元函数，最终到一般多元函数的情形。

一、单变量函数的链式法则

1. 基本形式

设 $y=f(u)$ 和 $u=g(x)$ 都是可微函数，则复合函数 $y=f(g(x))$ 的导数为：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$

2. 几何解释

链式法则描述了当变化在函数链中传播时，变化率是如何相乘的。可以想象一个机械齿轮系统，其中每个齿轮的转动都会影响下一个齿轮的转动速度。

3. 典型示例

例1：计算 $y=\sin (x^2+1)$ 的导数

解：
设 $u=x^2+1$，则 $y=\sin u$

应用链式法则：
$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{du}(\sin u)\cdot \frac{d}{dx}(x^2+1)=\cos u\cdot 2x=2x\cos (x^2+1)$$

二、二元函数的链式法则

1. 情形一：一个中间变量

设 $z=f(x,y)$ 且 $x=g(t)$, $y=h(t)$，则：

$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$

几何意义：描述了在参数路径 $(x(t),y(t))$ 上，函数 $z$ 的变化率是其对各变量偏导数与各变量变化率乘积的和。

例2：设 $z=x^{2}y+y^3$，其中 $x=\sin t$, $y=e^t$，求 $\frac{dz}{dt}$

解：
计算各组成部分：

• $\frac{\partial z}{\partial x}=2xy$
• $\frac{\partial z}{\partial y}=x^2+3y^2$
• $\frac{dx}{dt}=\cos t$
• $\frac{dy}{dt}=e^t$

应用链式法则：
$$\frac{dz}{dt}=2xy\cos t+(x^2+3y^2)e^t=2\sin t{e}^t\cos t+({\sin }^{2}t+3e^{2t})e^t$$

2. 情形二：多个中间变量

设 $z=f(x,y)$ 且 $x=g(s,t)$, $y=h(s,t)$，则：

$$\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}$$
$$\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$$

例3：设 $z=e^{x+2y}$，其中 $x=s/t$, $y=t/s$，求 $\frac{\partial z}{\partial s}$

解：
计算各组成部分：

• $\frac{\partial z}{\partial x}=e^{x+2y}$
• $\frac{\partial z}{\partial y}=2e^{x+2y}$
• $\frac{\partial x}{\partial s}=\frac{1}{t}$
• $\frac{\partial y}{\partial s}=-\frac{t}{s^2}$

应用链式法则：
$$\frac{\partial z}{\partial s}=e^{x+2y}\cdot \frac{1}{t}+2e^{x+2y}\cdot \left(-\frac{t}{s^2}\right)=e^{s/t+2t/s}\left(\frac{1}{t}-\frac{2t}{s^2}\right)$$

三、一般多元函数的链式法则

1. n变量情形

设 $u=f(x_1,x_2,...,x_n)$ 且每个 $x_i$ 都是变量 $t_1,t_2,...,t_m$ 的函数，则：

$$\frac{\partial u}{\partial t_j}=\sum _{i=1}^n\frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial t_j}\text{对于}j=1,2,...,m$$

2. 树形图法则

为了更直观地理解和记忆多元链式法则，可以使用树形图：

1. 从因变量出发画出所有路径到中间变量
2. 再从每个中间变量画到最终自变量
3. 每条路径对应一个乘积项
4. 所有路径的结果相加

3. 三变量示例

例4：设 $w=x^2+yz$，其中 $x=uv$, $y=e^{u+v}$, $z=u^2+v$，求 $\frac{\partial w}{\partial u}$

解：
构建依赖关系树形图：

    w/|\x y z| | |u u uv v v

计算各组成部分：

• $\frac{\partial w}{\partial x}=2x=2uv$
• $\frac{\partial w}{\partial y}=z=u^2+v$
• $\frac{\partial w}{\partial z}=y=e^{u+v}$
• $\frac{\partial x}{\partial u}=v$
• $\frac{\partial y}{\partial u}=e^{u+v}$
• $\frac{\partial z}{\partial u}=2u$

应用链式法则：
$$\frac{\partial w}{\partial u}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial u}=2uv\cdot v+(u^2+v)e^{u+v}+e^{u+v}\cdot 2u=2u{v}^2+e^{u+v}(u^2+v+2u)$$

四、链式法则的应用价值

1. 物理科学：描述多变量系统中的变化传播
2. 工程领域：灵敏度分析和误差传播
3. 经济学：边际效应和弹性计算
4. 机器学习：神经网络的反向传播算法

五、常见错误与注意事项

1. 不要遗漏路径：确保考虑了所有可能的依赖关系链
2. 区分偏导和全导：注意符号的正确使用
3. 变量关系的清晰性：明确哪些是中间变量，哪些是最终自变量
4. 可微性前提：确保所有相关函数在讨论点可微

总结

链式法则的发展路径可以总结为：

函数类型	链式法则形式	关键特点
单变量	$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$	简单乘积关系
二元函数	$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$	线性组合出现
多元函数	$\frac{\partial u}{\partial t_j}={\sum }_{i=1}^n\frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial t_j}$	多重线性组合

理解链式法则的关键在于：

1. 识别函数的复合结构
2. 理清变量间的依赖关系
3. 系统地应用法则公式
4. 通过具体练习巩固理解

通过本文从简单到复杂的示例分析，希望读者能够掌握链式法则在不同维度下的应用技巧，为后续学习多元微积分的更深层次内容打下坚实基础。。