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多元函数的链式法则:从单变量到高维的推广

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文章目录

    • 引言:链式法则的重要性
    • 一、单变量函数的链式法则
      • 1. 基本形式
      • 2. 几何解释
      • 3. 典型示例
    • 二、二元函数的链式法则
      • 1. 情形一:一个中间变量
      • 2. 情形二:多个中间变量
    • 三、一般多元函数的链式法则
      • 1. n变量情形
      • 2. 树形图法则
      • 3. 三变量示例
    • 四、链式法则的应用价值
    • 五、常见错误与注意事项
    • 总结


引言:链式法则的重要性

链式法则是微积分中最强大且应用最广泛的概念之一。它使我们能够计算复合函数的导数,无论这些函数是简单的单变量函数还是复杂的多元函数。本文将系统性地介绍链式法则的发展历程,从单变量情形开始,逐步推广到二元函数,最终到一般多元函数的情形。

一、单变量函数的链式法则

1. 基本形式

y=f(u)y=f(u)y=f(u)u=g(x)u=g(x)u=g(x) 都是可微函数,则复合函数 y=f(g(x))y=f(g(x))y=f(g(x)) 的导数为:

dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} dxdy=dudydxdu

2. 几何解释

链式法则描述了当变化在函数链中传播时,变化率是如何相乘的。可以想象一个机械齿轮系统,其中每个齿轮的转动都会影响下一个齿轮的转动速度。

3. 典型示例

例1:计算 y=sin⁡(x2+1)y=\sin(x^2+1)y=sin(x2+1) 的导数


u=x2+1u=x^2+1u=x2+1,则 y=sin⁡uy=\sin uy=sinu

应用链式法则:
dydx=ddu(sin⁡u)⋅ddx(x2+1)=cos⁡u⋅2x=2xcos⁡(x2+1)\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du}(\sin u) \cdot \frac{d}{dx}(x^2+1) = \cos u \cdot 2x = 2x\cos(x^2+1) dxdy=dud(sinu)dxd(x2+1)=cosu2x=2xcos(x2+1)

二、二元函数的链式法则

1. 情形一:一个中间变量

z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)x=g(t)x=g(t)x=g(t), y=h(t)y=h(t)y=h(t),则:

dzdt=∂z∂xdxdt+∂z∂ydydt\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt} dtdz=xzdtdx+yzdtdy

几何意义:描述了在参数路径 (x(t),y(t))(x(t),y(t))(x(t),y(t)) 上,函数 zzz 的变化率是其对各变量偏导数与各变量变化率乘积的和。

例2:设 z=x2y+y3z=x^2y + y^3z=x2y+y3,其中 x=sin⁡tx=\sin tx=sint, y=ety=e^ty=et,求 dzdt\frac{dz}{dt}dtdz


计算各组成部分:

  • ∂z∂x=2xy\frac{\partial z}{\partial x} = 2xyxz=2xy
  • ∂z∂y=x2+3y2\frac{\partial z}{\partial y} = x^2 + 3y^2yz=x2+3y2
  • dxdt=cos⁡t\frac{dx}{dt} = \cos tdtdx=cost
  • dydt=et\frac{dy}{dt} = e^tdtdy=et

应用链式法则:
dzdt=2xycos⁡t+(x2+3y2)et=2sin⁡tetcos⁡t+(sin⁡2t+3e2t)et\frac{dz}{dt} = 2xy\cos t + (x^2 + 3y^2)e^t = 2\sin t e^t \cos t + (\sin^2 t + 3e^{2t})e^t dtdz=2xycost+(x2+3y2)et=2sintetcost+(sin2t+3e2t)et

2. 情形二:多个中间变量

z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)x=g(s,t)x=g(s,t)x=g(s,t), y=h(s,t)y=h(s,t)y=h(s,t),则:

∂z∂s=∂z∂x∂x∂s+∂z∂y∂y∂s\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s} sz=xzsx+yzsy
∂z∂t=∂z∂x∂x∂t+∂z∂y∂y∂t\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} tz=xztx+yzty

例3:设 z=ex+2yz=e^{x+2y}z=ex+2y,其中 x=s/tx=s/tx=s/t, y=t/sy=t/sy=t/s,求 ∂z∂s\frac{\partial z}{\partial s}sz


计算各组成部分:

  • ∂z∂x=ex+2y\frac{\partial z}{\partial x} = e^{x+2y}xz=ex+2y
  • ∂z∂y=2ex+2y\frac{\partial z}{\partial y} = 2e^{x+2y}yz=2ex+2y
  • ∂x∂s=1t\frac{\partial x}{\partial s} = \frac{1}{t}sx=t1
  • ∂y∂s=−ts2\frac{\partial y}{\partial s} = -\frac{t}{s^2}sy=s2t

应用链式法则:
∂z∂s=ex+2y⋅1t+2ex+2y⋅(−ts2)=es/t+2t/s(1t−2ts2)\frac{\partial z}{\partial s} = e^{x+2y}\cdot\frac{1}{t} + 2e^{x+2y}\cdot\left(-\frac{t}{s^2}\right) = e^{s/t + 2t/s}\left(\frac{1}{t} - \frac{2t}{s^2}\right) sz=ex+2yt1+2ex+2y(s2t)=es/t+2t/s(t1s22t)

三、一般多元函数的链式法则

1. n变量情形

u=f(x1,x2,...,xn)u=f(x_1,x_2,...,x_n)u=f(x1,x2,...,xn) 且每个 xix_ixi 都是变量 t1,t2,...,tmt_1,t_2,...,t_mt1,t2,...,tm 的函数,则:

∂u∂tj=∑i=1n∂u∂xi∂xi∂tj对于 j=1,2,...,m\frac{\partial u}{\partial t_j} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial t_j} \quad \text{对于} \ j=1,2,...,m tju=i=1nxiutjxi对于 j=1,2,...,m

2. 树形图法则

为了更直观地理解和记忆多元链式法则,可以使用树形图:

  1. 从因变量出发画出所有路径到中间变量
  2. 再从每个中间变量画到最终自变量
  3. 每条路径对应一个乘积项
  4. 所有路径的结果相加

3. 三变量示例

例4:设 w=x2+yzw=x^2 + yzw=x2+yz,其中 x=uvx=uvx=uv, y=eu+vy=e^{u+v}y=eu+v, z=u2+vz=u^2+vz=u2+v,求 ∂w∂u\frac{\partial w}{\partial u}uw


构建依赖关系树形图:

    w/|\x y z| | |u u uv v v

计算各组成部分:

  • ∂w∂x=2x=2uv\frac{\partial w}{\partial x} = 2x = 2uvxw=2x=2uv
  • ∂w∂y=z=u2+v\frac{\partial w}{\partial y} = z = u^2 + vyw=z=u2+v
  • ∂w∂z=y=eu+v\frac{\partial w}{\partial z} = y = e^{u+v}zw=y=eu+v
  • ∂x∂u=v\frac{\partial x}{\partial u} = vux=v
  • ∂y∂u=eu+v\frac{\partial y}{\partial u} = e^{u+v}uy=eu+v
  • ∂z∂u=2u\frac{\partial z}{\partial u} = 2uuz=2u

应用链式法则:
∂w∂u=∂w∂x∂x∂u+∂w∂y∂y∂u+∂w∂z∂z∂u=2uv⋅v+(u2+v)eu+v+eu+v⋅2u=2uv2+eu+v(u2+v+2u)\frac{\partial w}{\partial u} = \frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial u} = 2uv \cdot v + (u^2+v)e^{u+v} + e^{u+v} \cdot 2u = 2uv^2 + e^{u+v}(u^2 + v + 2u) uw=xwux+ywuy+zwuz=2uvv+(u2+v)eu+v+eu+v2u=2uv2+eu+v(u2+v+2u)

四、链式法则的应用价值

  1. 物理科学:描述多变量系统中的变化传播
  2. 工程领域:灵敏度分析和误差传播
  3. 经济学:边际效应和弹性计算
  4. 机器学习:神经网络的反向传播算法

五、常见错误与注意事项

  1. 不要遗漏路径:确保考虑了所有可能的依赖关系链
  2. 区分偏导和全导:注意符号的正确使用
  3. 变量关系的清晰性:明确哪些是中间变量,哪些是最终自变量
  4. 可微性前提:确保所有相关函数在讨论点可微

总结

链式法则的发展路径可以总结为:

函数类型链式法则形式关键特点
单变量dydx=dydududx\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}dxdy=dudydxdu简单乘积关系
二元函数dzdt=∂z∂xdxdt+∂z∂ydydt\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}dtdz=xzdtdx+yzdtdy线性组合出现
多元函数∂u∂tj=∑i=1n∂u∂xi∂xi∂tj\frac{\partial u}{\partial t_j}=\sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial t_j}tju=i=1nxiutjxi多重线性组合

理解链式法则的关键在于:

  1. 识别函数的复合结构
  2. 理清变量间的依赖关系
  3. 系统地应用法则公式
  4. 通过具体练习巩固理解

通过本文从简单到复杂的示例分析,希望读者能够掌握链式法则在不同维度下的应用技巧,为后续学习多元微积分的更深层次内容打下坚实基础。。

http://www.dtcms.com/a/273302.html

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