多元函数的链式法则:从单变量到高维的推广
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文章目录
- 引言:链式法则的重要性
- 一、单变量函数的链式法则
- 1. 基本形式
- 2. 几何解释
- 3. 典型示例
- 二、二元函数的链式法则
- 1. 情形一:一个中间变量
- 2. 情形二:多个中间变量
- 三、一般多元函数的链式法则
- 1. n变量情形
- 2. 树形图法则
- 3. 三变量示例
- 四、链式法则的应用价值
- 五、常见错误与注意事项
- 总结
引言:链式法则的重要性
链式法则是微积分中最强大且应用最广泛的概念之一。它使我们能够计算复合函数的导数,无论这些函数是简单的单变量函数还是复杂的多元函数。本文将系统性地介绍链式法则的发展历程,从单变量情形开始,逐步推广到二元函数,最终到一般多元函数的情形。
一、单变量函数的链式法则
1. 基本形式
设 y=f(u)y=f(u)y=f(u) 和 u=g(x)u=g(x)u=g(x) 都是可微函数,则复合函数 y=f(g(x))y=f(g(x))y=f(g(x)) 的导数为:
dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} dxdy=dudy⋅dxdu
2. 几何解释
链式法则描述了当变化在函数链中传播时,变化率是如何相乘的。可以想象一个机械齿轮系统,其中每个齿轮的转动都会影响下一个齿轮的转动速度。
3. 典型示例
例1:计算 y=sin(x2+1)y=\sin(x^2+1)y=sin(x2+1) 的导数
解:
设 u=x2+1u=x^2+1u=x2+1,则 y=sinuy=\sin uy=sinu
应用链式法则:
dydx=ddu(sinu)⋅ddx(x2+1)=cosu⋅2x=2xcos(x2+1)\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du}(\sin u) \cdot \frac{d}{dx}(x^2+1) = \cos u \cdot 2x = 2x\cos(x^2+1) dxdy=dud(sinu)⋅dxd(x2+1)=cosu⋅2x=2xcos(x2+1)
二、二元函数的链式法则
1. 情形一:一个中间变量
设 z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y) 且 x=g(t)x=g(t)x=g(t), y=h(t)y=h(t)y=h(t),则:
dzdt=∂z∂xdxdt+∂z∂ydydt\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt} dtdz=∂x∂zdtdx+∂y∂zdtdy
几何意义:描述了在参数路径 (x(t),y(t))(x(t),y(t))(x(t),y(t)) 上,函数 zzz 的变化率是其对各变量偏导数与各变量变化率乘积的和。
例2:设 z=x2y+y3z=x^2y + y^3z=x2y+y3,其中 x=sintx=\sin tx=sint, y=ety=e^ty=et,求 dzdt\frac{dz}{dt}dtdz
解:
计算各组成部分:
- ∂z∂x=2xy\frac{\partial z}{\partial x} = 2xy∂x∂z=2xy
- ∂z∂y=x2+3y2\frac{\partial z}{\partial y} = x^2 + 3y^2∂y∂z=x2+3y2
- dxdt=cost\frac{dx}{dt} = \cos tdtdx=cost
- dydt=et\frac{dy}{dt} = e^tdtdy=et
应用链式法则:
dzdt=2xycost+(x2+3y2)et=2sintetcost+(sin2t+3e2t)et\frac{dz}{dt} = 2xy\cos t + (x^2 + 3y^2)e^t = 2\sin t e^t \cos t + (\sin^2 t + 3e^{2t})e^t dtdz=2xycost+(x2+3y2)et=2sintetcost+(sin2t+3e2t)et
2. 情形二:多个中间变量
设 z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y) 且 x=g(s,t)x=g(s,t)x=g(s,t), y=h(s,t)y=h(s,t)y=h(s,t),则:
∂z∂s=∂z∂x∂x∂s+∂z∂y∂y∂s\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s} ∂s∂z=∂x∂z∂s∂x+∂y∂z∂s∂y
∂z∂t=∂z∂x∂x∂t+∂z∂y∂y∂t\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} ∂t∂z=∂x∂z∂t∂x+∂y∂z∂t∂y
例3:设 z=ex+2yz=e^{x+2y}z=ex+2y,其中 x=s/tx=s/tx=s/t, y=t/sy=t/sy=t/s,求 ∂z∂s\frac{\partial z}{\partial s}∂s∂z
解:
计算各组成部分:
- ∂z∂x=ex+2y\frac{\partial z}{\partial x} = e^{x+2y}∂x∂z=ex+2y
- ∂z∂y=2ex+2y\frac{\partial z}{\partial y} = 2e^{x+2y}∂y∂z=2ex+2y
- ∂x∂s=1t\frac{\partial x}{\partial s} = \frac{1}{t}∂s∂x=t1
- ∂y∂s=−ts2\frac{\partial y}{\partial s} = -\frac{t}{s^2}∂s∂y=−s2t
应用链式法则:
∂z∂s=ex+2y⋅1t+2ex+2y⋅(−ts2)=es/t+2t/s(1t−2ts2)\frac{\partial z}{\partial s} = e^{x+2y}\cdot\frac{1}{t} + 2e^{x+2y}\cdot\left(-\frac{t}{s^2}\right) = e^{s/t + 2t/s}\left(\frac{1}{t} - \frac{2t}{s^2}\right) ∂s∂z=ex+2y⋅t1+2ex+2y⋅(−s2t)=es/t+2t/s(t1−s22t)
三、一般多元函数的链式法则
1. n变量情形
设 u=f(x1,x2,...,xn)u=f(x_1,x_2,...,x_n)u=f(x1,x2,...,xn) 且每个 xix_ixi 都是变量 t1,t2,...,tmt_1,t_2,...,t_mt1,t2,...,tm 的函数,则:
∂u∂tj=∑i=1n∂u∂xi∂xi∂tj对于 j=1,2,...,m\frac{\partial u}{\partial t_j} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial t_j} \quad \text{对于} \ j=1,2,...,m ∂tj∂u=i=1∑n∂xi∂u∂tj∂xi对于 j=1,2,...,m
2. 树形图法则
为了更直观地理解和记忆多元链式法则,可以使用树形图:
- 从因变量出发画出所有路径到中间变量
- 再从每个中间变量画到最终自变量
- 每条路径对应一个乘积项
- 所有路径的结果相加
3. 三变量示例
例4:设 w=x2+yzw=x^2 + yzw=x2+yz,其中 x=uvx=uvx=uv, y=eu+vy=e^{u+v}y=eu+v, z=u2+vz=u^2+vz=u2+v,求 ∂w∂u\frac{\partial w}{\partial u}∂u∂w
解:
构建依赖关系树形图:
w/|\x y z| | |u u uv v v
计算各组成部分:
- ∂w∂x=2x=2uv\frac{\partial w}{\partial x} = 2x = 2uv∂x∂w=2x=2uv
- ∂w∂y=z=u2+v\frac{\partial w}{\partial y} = z = u^2 + v∂y∂w=z=u2+v
- ∂w∂z=y=eu+v\frac{\partial w}{\partial z} = y = e^{u+v}∂z∂w=y=eu+v
- ∂x∂u=v\frac{\partial x}{\partial u} = v∂u∂x=v
- ∂y∂u=eu+v\frac{\partial y}{\partial u} = e^{u+v}∂u∂y=eu+v
- ∂z∂u=2u\frac{\partial z}{\partial u} = 2u∂u∂z=2u
应用链式法则:
∂w∂u=∂w∂x∂x∂u+∂w∂y∂y∂u+∂w∂z∂z∂u=2uv⋅v+(u2+v)eu+v+eu+v⋅2u=2uv2+eu+v(u2+v+2u)\frac{\partial w}{\partial u} = \frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial u} = 2uv \cdot v + (u^2+v)e^{u+v} + e^{u+v} \cdot 2u = 2uv^2 + e^{u+v}(u^2 + v + 2u) ∂u∂w=∂x∂w∂u∂x+∂y∂w∂u∂y+∂z∂w∂u∂z=2uv⋅v+(u2+v)eu+v+eu+v⋅2u=2uv2+eu+v(u2+v+2u)
四、链式法则的应用价值
- 物理科学:描述多变量系统中的变化传播
- 工程领域:灵敏度分析和误差传播
- 经济学:边际效应和弹性计算
- 机器学习:神经网络的反向传播算法
五、常见错误与注意事项
- 不要遗漏路径:确保考虑了所有可能的依赖关系链
- 区分偏导和全导:注意符号的正确使用
- 变量关系的清晰性:明确哪些是中间变量,哪些是最终自变量
- 可微性前提:确保所有相关函数在讨论点可微
总结
链式法则的发展路径可以总结为:
函数类型 | 链式法则形式 | 关键特点 |
---|---|---|
单变量 | dydx=dydududx\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}dxdy=dudydxdu | 简单乘积关系 |
二元函数 | dzdt=∂z∂xdxdt+∂z∂ydydt\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}dtdz=∂x∂zdtdx+∂y∂zdtdy | 线性组合出现 |
多元函数 | ∂u∂tj=∑i=1n∂u∂xi∂xi∂tj\frac{\partial u}{\partial t_j}=\sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial t_j}∂tj∂u=∑i=1n∂xi∂u∂tj∂xi | 多重线性组合 |
理解链式法则的关键在于:
- 识别函数的复合结构
- 理清变量间的依赖关系
- 系统地应用法则公式
- 通过具体练习巩固理解
通过本文从简单到复杂的示例分析,希望读者能够掌握链式法则在不同维度下的应用技巧,为后续学习多元微积分的更深层次内容打下坚实基础。。