01背包问题和完全背包问题

1.首先是0-1背包问题：

        01背包问题是最简单的背包问题，无非是有不同种类的东西，选择最大价值的选法。而01背包问题和其他背包问题不同的就是，他里面一类物品只有一个，也就是说没有复数同类物品。

        因此，我们先确认集合为，前i个商品，最大体积为j时，获得的最大价值为f[i][j]。而对于第i个商品，有买和不买两种选择，不买的话：f[i][j] = f[i-1][j]；，买的话：f[i][j] = f[i-1][j-v[i]] + w[i]

        因此，代码为：

for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        for(int j = 0; j <= m; j ++ )
        {
            if(v[i] <= j)
                f[i][j] =max(f[i - 1][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
            else
                f[i][j] = f[i - 1][j];
        }
    }

         可以使用滚动数组进行优化：因为每次更新的时候只用得到i-1，最后需要输出的也只是f[n][m],前面的其实可以不存。因此，可以使用一维数组。但这里需要注意的是，算出新一个i的不同体积限制时，体积要从大到小遍历，因为更新的时候，大的体积部分肯定需要小的体积部分的i-1的部分。因此：

        

for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
    for(int j = m ; j>=v[i] ;j--)
    {
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }

2.而完全背包问题，则是每样物品有无数个，可以更加随意地组合。这个问题和01背包问题有挺多的不同点。

        因此要多一个循环：

for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = 0; j <= m; j ++ )
            for(int k = 0; k * v[i] <= j; k ++ )
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);//求出每一个 f[i][j]

         也可以优化：

for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
    for(int j = v[i] ; j<=m ;j++)//注意了，这里的j是从小到大枚举，和01背包不一样
    {
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }