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神聖的綫性代數速成例題6. 方陣行列式的性質、伴隨矩陣

news 来源：原创 2025/5/3 3:16:08

方陣行列式的性質：
- 若 $A$ 是n階方陣， $k$ 是數，則 $\vert kA\vert = k^n\vert A\vert$ 。
- 若 $A$ ， $B$ 是 $n$ 階方陣，則 $\vert AB\vert = \vert A\vert\vert B\vert$ 。
- $\vert A^T\vert = \vert A\vert$ 。
- 若 $A$ 可逆，則 $\vert A^{-1}\vert = \frac{1}{\vert A\vert}$ 。
伴隨矩陣的定義：
- 對於 $n$ 階方陣 $A=(a_{ij})$ ，其伴隨矩陣 $A^{*}=(A_{ji})$ ，其中 $A_{ij}$ 是元素 $a_{ij}$ 的代數餘子式。
- 重要性質： $AA^{*} = A^{*}A = \vert A\vert I$ 。

例題解析：

1.已知 $A$ 是3階方陣， $\vert A\vert = 2$ ，求 $\vert 3A\vert$ 。

解：根據 $\vert kA\vert = k^n\vert A\vert$ ， $n = 3$ ， $k = 3$ ，所以 $\vert 3A\vert = 3^3\cdot\vert A\vert = 27\times2 = 54$ 。

2.已知 $A$ ， $B$ 是2階方陣， $\vert A\vert = 3$ ， $\vert B\vert = - 2$ ，求 $\vert AB\vert$ 。

解：由 $\vert AB\vert = \vert A\vert\vert B\vert$ ，可得 $\vert AB\vert = 3\times(-2)= - 6$ 。

3.已知 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ ，求 $\vert A^T\vert$ 。

解：先求 $A^T=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$ ， $\vert A^T\vert = 1\times4 - 3\times2 = 4 - 6 = - 2$ 。

又 $\vert A\vert = 1\times4 - 2\times3 = 4 - 6 = - 2$ ，所以 $\vert A^T\vert = \vert A\vert$ 。

4.已知 $A$ 是3階可逆方陣， $\vert A\vert = 5$ ，求 $\vert A^{-1}\vert$ 。

解：根據 $\vert A^{-1}\vert = \frac{1}{\vert A\vert}$ ，可得 $\vert A^{-1}\vert = \frac{1}{5}$ 。

5.已知 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ ，求其伴隨矩陣 $A^{*}$ 。

解：先求元素的代數餘子式， $A_{11}=(-1)^{1 + 1}\begin{vmatrix}4\end{vmatrix}=4$ ， $A_{12}=(-1)^{1 + 2}\begin{vmatrix}3\end{vmatrix}=-3$ ， $A_{21}=(-1)^{2 + 1}\begin{vmatrix}2\end{vmatrix}=-2$ ， $A_{22}=(-1)^{2 + 2}\begin{vmatrix}1\end{vmatrix}=1$ 。

所以 $A^{*}=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}\\A_{12}&A_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$ 。

6.驗證上題中 $A$ 與 $A^{*}$ 滿足 $AA^{*} = \vert A\vert I$ 。

解：

$AA^{*}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times4 + 2\times(-3)&1\times(-2)+2\times1\\3\times4 + 4\times(-3)&3\times(-2)+4\times1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&0\\0&-2\end{pmatrix}$ 。

$\vert A\vert = 1\times4 - 2\times3 = - 2$ ， $\vert A\vert I=-2\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&0\\0&-2\end{pmatrix}$ 。

所以 $AA^{*} = \vert A\vert I$ 。

7.已知 $A$ 是3階方陣， $\vert A\vert = 0$ ，判斷 $A$ 是否可逆。

解：若 $A$ 可逆，則 $\vert A^{-1}\vert = \frac{1}{\vert A\vert}$ ，而 $\vert A\vert = 0$ ， $\frac{1}{\vert A\vert}$ 無意義，所以 $A$ 不可逆。

8.已知 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ ，且 $ad - bc\neq0$ ，求 $A^{-1}$ （利用伴隨矩陣）。

解：先求 $\vert A\vert = ad - bc$ ，再求代數餘子式 $A_{11}=d$ ， $A_{12}=-c$ ， $A_{21}=-b$ ， $A_{22}=a$ 。

伴隨矩陣 $A^{*}=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ ，根據 $A^{-1}=\frac{1}{\vert A\vert}A^{*}$ ，可得 $A^{-1}=\frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ 。