浅谈树状数组算法

Part 1 【模版】树状数组 1

• 例题：P3374

题目大意

单点修改，区间查询。

暴力 1

直接模拟题意，时间复杂度 $O(NM)$。

时间复杂度瓶颈：查询操作。

暴力 2

直接维护前缀和，时间复杂度 $O(NM)$。

时间复杂度瓶颈：修改操作。

铺垫

考虑这个问题：求十个数使得它们中选取几个数的和可以表示 $1$ 至 $512$ 之中的任何一个数。

有一种合法的答案是：$1,2,4,8,16,32,64,128,256,512$。可以观察到这和二进制有很大关系。

多重背包的二进制优化也利用了上述特征，我们能否把它应用到这道题里？可以。

正解思路

考虑在暴力 2 的基础上二进制维护，需要维护使得 $s_x$ 至 $s_n$ 增加 $k$，每一次跨度是 $i$ 的二进制拆分中最低的一个非零位的位权，简称 $\mathrm{lowbit}(i)$。所以每一次维护时间复杂度是 $O(\log N)$。

查询操作我们也要利用二进制完成，查询 $s_y$ 和 $s_{x-1}$ 的值，我们需要从后往前枚举，跨度仍然是 $\mathrm{lowbit}(i)$，复杂度 $O(\log N)$。

总复杂度 $O(M\cdot \log N)$。

Part 2 【模版】树状数组 2

• 例题：P3368

题目大意

区间修改，单点查询。

暴力 1

直接模拟题意，时间复杂度 $O(NM)$。

时间复杂度瓶颈：修改操作。

暴力 2

直接维护差分，时间复杂度 $O(NM)$。

时间复杂度瓶颈：查询操作。

正解思路

注意观察暴力 2，可以转化为上一题，然后利用二进制优化，总时间复杂度也是 $O(M\cdot \log N)$。

Part 3 【模版】线段树 1

• 例题：P3372

题目大意

区间修改，区间查询。

暴力思路

模仿第一题思路，如果不考虑时间复杂度就是维护一个前缀和，再维护这个前缀和数组的前缀和，但是时间复杂度是无法承受的。

铺垫

考虑这个数组：$2,3,1,4,5$，我们来求一求它的前缀和以及前缀和的前缀和。

下标 $i$	1	2	3	4	5
原数 $a_i$	2	3	1	4	5
前缀和 $s_i$	2	5	6	10	15
前缀和的前缀和 $s{s}_i$	2	7	13	23	38

可以发现，$s{s}_i$ 的值相当于 $a_i$ 的加权前缀和。

正解思路

令 $b_i$ 表示第 $i$ 个数被修改的情况。

式子：$s{s}_i={\sum }_1^i{a}_j+{\sum }_1^i{b}_j\cdot (i+1)+{\sum }_1^i{b}_j\cdot j$。

发现我们只需要维护一下原数组的前缀和、修改值的前缀和、修改值的加权前缀和。复杂度同上。

Part 4 逆序对

• 例题：P1908

声明

本题可以使用归并排序，下面介绍一种树状数组的做法。

思路

不妨考虑桶维护。首先对原数组进行离散化，然后正序枚举，计算前面有多少个数比当前数大。这是一个求前缀和的过程，可以用树状数组维护。

总结

树状数组很好用，可以将 $O(N)$ 的时间复杂度优化到 $O(\log N)$。