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蓝桥杯 C++ b组李白打酒加强版，动规及dfs+记忆化搜索双解

news 来源：原创 2025/5/17 19:25:56

题目大意：初始有2斗酒，遇到花会喝1斗，遇到店使当前酒翻倍，最后遇到的是花，且最好酒为0；并且不会出现酒<0的情况，给定经过了n次店，m次花，求总共有多少种遇到花和店的顺序、

解法1：动态规划
（1）状态数组：f[i][j][k]：已经经过了i个店和j个花，并且当前酒为k斗，其值表示为方案数
（2）状态转化公式：f[i][j][k]可以经过了一个店得到，也可以经过一个花得到
a.店：到上一个店的方案数为f[i-1][j][k/2]:表示已经走了i-1个店，j个花，当前酒为k/2;
ps:i>=1,k%2==0

b.花：到上一个花的方案数为f[i][j-1][k+1]:已经走了i个店，j-1个花，当前酒为k+1
ps：j>=1
（3）初始化：初始经过0个店和花，且酒为2，故应初始化f[0][0][2]，并且不论经过一个花还是一个店，对于可能的下一项f[1][0][4]或者f[0][1][1],它俩的方案数肯定都是1，因为只能从f[0][0][2]得到，再结合我们的转化公式（详见代码吧，更好理解），可知初始化f[0][0][2]=1;

ps:下面的f[i][j][k]，我们可以在使用前定义int& v=f[i][j][k],然后在本来使用f[i][j][k]，替换为v了，可以去搜一下相关使用~~QWQ

参考代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 105,MOD=1e9+7;
using ll=long long;

int n,m;
int f[N][N][N];

int main()
{
    ios_base::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    
    cin>>n>>m;
    f[0][0][2]=1;//经过0个花和店，手里2斗酒，即初始状态;
    for(int i=0;i<=n;i++)//店
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)//花
        {
            for(int k=0;k<=m;k++)//不会超过花的次数
            {
                if(i>=1 && k%2==0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i-1][j][k/2])%MOD;
                if(j>=1) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i][j-1][k+1])%MOD;
            }
        }
    }
    cout<<f[n][m-1][1];
    return 0;
}

解法2：dfs+记忆化搜索
（1）首先要考虑的是如何定义dfs，传的参数是什么？显然是店，花，酒，又因为咱们这里用正向搜索，这里就定义dfs(剩余的店，剩余的花，现在的酒)
（2）其次开一个三维数组，d[n][m][k]表示有n店，m花，此刻酒为k时到题中最后的情况（遇到花喝完酒）总共的方案数。一开始全部初始化为-1，即memset(d,-1,sizeof d);
（3）然后我们要明确dfs的返回值，这里先给公式
d[n][m][k]=(dfs(n-1,m,k*2)+dfs(n,m-1,k-1))%MOD;
余n店,m花的情况走一步只会得到余n-1店，m花或余n店，m-1花的情况
那么对于d[n][m][k]的值当然就是两种方案数相加，但k的变化需要注意一下，这里和动态规划的k刚好相反，这里是由初始状态向后面走，所以时2*k和k-1。
（4）最后就到了记忆化了，首先已经搜过的可以不用重复搜，即d已经赋值了的，d！=-1时，直接返回当前d[][][]；其次还可以特判一下非法的情况，比如，花和店以及酒到最后才是负数，不可能为0；另外，酒的数量一定不会超过100，因为花的最大值为100，而每个花只能让酒-1；最后如果花为0了，而此时店和酒还不为0，那么也不合法！因为店只会让酒增加，无论如何酒最后都不会为0；

最后就是代码了：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 105,MOD=1e9+7;
using ll=long long;

int n,m;
int d[N][N][N];

int dfs(int n,int m,int k)//还余下n个店，m个花，现在酒为k
{
    if(n<0||m<0||k<0||k>=N||(!m&&(n||k))) return 0;
    if(~d[n][m][k]) return d[n][m][k];
    return d[n][m][k]=(dfs(n-1,m,k*2)+dfs(n,m-1,k-1))%MOD;
}

int main()
{
    ios_base::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    
    cin>>n>>m;
    memset(d,-1,sizeof d);
    d[0][1][1]=1;//最后的情况，剩下1个花，1斗酒
    cout<<dfs(n,m,2);
    return 0;
}