【经典算法】Leetcode-零钱兑换问题

一、题目

• 给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。
• 计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。
• 你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：
输入：coins = [1, 5, 11], amount = 15
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 5

二、思考

方法列举：

• 贪心：根据贪心法则，会先挑最大的，这样的话，会先选择10块的，然后选择1块的，选择过程是：10+1+1+1+1=15，这样显然不是本题的最优解。
• 动态规划：假设 F[i] 表示组成金额i所需的硬币数量，那么F[i] 可能有多种结果，按照题意，选择其中最小的一个结果输出即可。比如F[15]有三种不同的兑换方法（兑换次数分别为5、3、5），最终输出3即可。

三、动态规划解法

采用以上动态规划的思路，可以将以上过程拆成2个步骤：

1. 计算第一次挑选每个硬币coin，对应的F[i]：F[i] = F[i - coin] + 1
2. 及时更新最小值: F[i] = min(F[i], F[i - coin] + 1)

Python代码：

class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        dp = [inf] * (amount + 1)  # 定义dp[i]表示，组成金额i所需的最少硬币数量
        dp[0] = 0

        for coin in coins: # 计算逐个硬币下的dp[i]
            for i in range(coin, amount + 1):
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1) # 在计算过程中，还实时比较得到最小的f[i]

        return dp[amount] if dp[amount] != inf else -1

Ref:

• Leetcode: https://leetcode.cn/problems/coin-change/?envType=study-plan-v2&envId=top-100-liked