动态规划基础题型
牛客动态规划问题汇总
动态规划基础题型（背包、打家劫舍、股票、子序列）做题技巧归纳
针对你笔记中提到的dp数组及下标含义、递推公式、dp数组初始化、遍历顺序四个核心点，结合四类高频题型（背包、打家劫舍、股票、子序列），为你逐一拆解做题技巧：
一、明确「dp数组及下标的含义」—— 动态规划的“定位锚点”
dp数组的含义是状态的具象化，必须先明确“每个维度、每个下标代表什么现实意义”，否则递推逻辑会完全混乱。
| 题型 | 典型dp数组定义 |
|---|---|
| 01背包 | ● 二维数组：dp[i][j]表示前i个物品、背包容量为j时的最大价值；● 滚动数组： dp[j]表示容量为j的背包能装的最大价值。 |
| 完全背包 | ● 二维数组：dp[i][j]表示前i个物品、背包容量为j时的最大价值；● 滚动数组： dp[j]表示容量为j的背包能装的最大价值。 |
| 打家劫舍 | ● 基本版：dp[i]表示抢劫前i家能获得的最大金额；● 环形版：拆分为“抢前n-1家”和“抢后n-1家”两个子问题， dp[i]含义同上。 |
| 股票问题 | 以“最多交易k次”为框架，dp[i][j]中：- i表示第i天；- j表示交易状态（如0=未持有、1=持有等，不同k对应不同状态数）；- 值为当前最大利润。 （例：买卖股票III中， j=0=不操作，j=1=第一次持有，j=2=第一次卖出，j=3=第二次持有，j=4=第二次卖出） |
| 子序列问题 | - 最长递增子序列（LIS）：dp[i]表示以第i个元素结尾的最长递增子序列长度；- 最长公共子序列（LCS）： dp[i][j]表示text1前i个字符和text2前j个字符的最长公共子序列长度；- 最长回文子序列： dp[i][j]表示字符串i到j区间内的最长回文子序列长度。 |
二、推导「递推公式」—— 动态规划的“逻辑链条”
递推公式是状态转移的核心，需围绕“当前状态由哪些前序状态推导而来”分析。
| 题型 | 核心递推公式 |
|---|---|
| 01背包 | - 二维：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - weight[i]] + value[i])（选或不选第i个物品）；- 滚动数组： dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])（j从大到小遍历）。 |
| 完全背包 | - 二维：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])（物品可重复选，所以依赖当前i的子状态）；- 滚动数组： dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])（j从小到大遍历）。 |
| 打家劫舍 | - 基本版：dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i])（不抢第i家，或抢第i家则需跳过i-1家）；- 环形版：拆分为“抢前n-1家”和“抢后n-1家”，各自按基本版递推，最终取最大值。 |
| 股票问题 | - 买卖I（一次交易）：dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])（未持有：保持或卖出）；dp[i][1] = max(dp[i-1][1], -prices[i])（持有：保持或买入）；- 买卖II（多次交易）：仅 dp[i][1]改为max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])（因为可重复交易，买入依赖前一天未持有状态）；- 买卖III（两次交易）：需逐个状态分析（如 dp[i][3] = max(dp[i-1][3], dp[i-1][2] - prices[i])表示“第二次持有，可保持或由第一次卖出后买入”）。 |
| 子序列问题 | - LIS：dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i])（遍历j < i且nums[j] < nums[i]，找最长子序列后+1）；- LCS： 若 text1[i-1] == text2[j-1]，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1；否则 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])；- 最长回文子序列： 若 s[i] == s[j]，则dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2；否则 dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])。 |
三、掌握「dp数组初始化」—— 动态规划的“起点校准”
初始化要匹配dp数组的含义，确保“初始状态无歧义”，为递推提供正确的起点。
| 题型 | 初始化方式 |
|---|---|
| 背包问题 | - 01背包/完全背包： 二维： dp[0][j] = 0（前0个物品，价值为0），dp[i][0] = 0（容量为0，价值为0）；滚动数组： dp[0...j] = 0（容量0到V初始价值为0）。 |
| 打家劫舍 | - 基本版：dp[0] = nums[0]（只有一家时抢这家），dp[1] = max(nums[0], nums[1])（两家时选最大的）；- 环形版：拆分后子问题各自按基本版初始化。 |
| 股票问题 | - 买卖I：dp[0][0] = 0（第0天未持有），dp[0][1] = -prices[0]（第0天持有，即买入）；- 买卖II/III：初始化逻辑与买卖I一致（多次交易仅改变递推式，初始状态不变）。 |
| 子序列问题 | - LIS：所有dp[i] = 1（每个元素自身是长度为1的子序列）；- LCS： dp[0][j] = 0，dp[i][0] = 0（空字符串与任何字符串的LCS长度为0）；- 最长回文子序列： dp[i][i] = 1（单个字符是回文，长度1），i > j时dp[i][j] = 0（无意义区间）。 |
四、理清「遍历顺序」—— 动态规划的“执行路径”
遍历顺序决定了“状态转移时，前序状态是否已被正确计算”，尤其在背包和子序列问题中极易出错。
| 题型 | 遍历顺序要求 |
|---|---|
| 背包问题 | 一、01背包（每个物品只能选一次）必须先遍历物品，再遍历容量，遍历顺序的本质是 “保证物品只被处理一次”。物品的遍历顺序不影响结果，容量的先后顺序需要分情况讨论。1、二维数组： 背包容量j的遍历顺序无强制要求，从小到大或从大到小均可。 2、滚动数组： 容量j必须从大到小遍历（ j从V到weight[i]），防止物品重复选择；二、 完全背包 物品和容量的遍历顺序是否可调换，需结合问题场景（求最大价值、组合数、排列数）具体分析 1、求「最大价值」场景：顺序可换 （1）二维数组：先遍历物品，再遍历容量（j从小到大）； （2）滚动数组：容量j从小到大遍历（ j从weight[i]到V），因为物品可重复选；2、 组合问题（如零钱兑换II）：先遍历物品，再遍历容量（保证组合不重复）； 3、 排列问题（如组合总和IV）：先遍历容量，再遍历物品（允许排列顺序不同）。 |
| 打家劫舍 | 从前往后遍历（i从2到n-1），因为dp[i]依赖dp[i-1]和dp[i-2]。 |
| 股票问题 | 从前往后遍历天数（i从1到n-1），因为每天的状态仅依赖前一天的状态。 |
| 子序列问题 | - LIS：从前往后遍历每个元素i，再遍历j从0到i-1（找前面的最长子序列）； - LCS：先遍历text1的前i个字符，再遍历text2的前j个字符（i和j从1开始）； - 最长回文子序列：从后往前遍历i（i从n-2到0），再遍历j从i+1到n-1（因为状态 dp[i][j]依赖dp[i+1][j-1]，需要先计算后面的区间）。 |