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news 2025/11/16 16:53:27

昆明网站制作报价,安卓手机网页视频怎么下载,安监局网站建设,wordpress销售插件专题一联合分布函数1.二维随机变量的定义设，为样本空间上的两个随机变量，称为二维随机变量。实值函数，样本点的函数2.联合分布函数的定义设为二维随机变量，对任意实数，称为的联合分布函数，简称分布…

专题一联合分布函数

1.二维随机变量的定义

设 $X = X(\omega)$ ， $Y = Y(\omega)$ 为样本空间 $\Omega$ 上的两个随机变量，称 $(X,Y)$ 为二维随机变量。

实值函数，样本点的函数

2.联合分布函数的定义

设 $(X,Y)$ 为二维随机变量，对任意实数 $x,y$ ，称 $F(x, y) = P\left \{ {X \leq x,Y \leq y} \right \}$ 为 $(X,Y)$ 的联合分布函数，简称分布函数。

3.联合分布函数的性质

1.非负规范性

$0 \leq F(x,y) \leq 1,-\infty < x < +\infty,-\infty < y < +\infty$ ，

$F(-\infty,y) = F(x,-\infty) = F(-\infty,-\infty) = 0$ ，
$F(+\infty,+\infty) = 1$ ；

2.单调不减性

$F(x,y)$ 关于 $x$ 和 $y$ 均单调不减；

3.右连续性

$F(x,y)$ 关于 $x$ 和 $y$ 均右连续；

$P\left \{ {a < X \leq b,c < Y \leq d} \right \}= F(b,d) - F(b,c) - F(a,d) + F(a,c)$ 。

评注：性质（1）、（2）、（3）、（4）构成联合分布函数的充要条件。

4.边缘分布函数的定义

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数为 $F(x, y)$ ，分别称
$F_X(x) = P\left \{ {X \leq x} \right \} = P\left \{ {X \leq x,Y \leq +\infty} \right \}= F(x,+\infty)$
$F_Y(y) = P\left \{ {Y \leq y} \right \} = P\left \{ {X \leq +\infty,Y \leq y} \right \} = F(+\infty,y)$
为 $(X,Y)$ 关于 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布函数。

求自己方向的概率

专题二二维离散型随机变量

1.联合概率分布的定义

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的取值为有限个或可列个，称 $(X,Y)$ 为二维离散型随机变量。
设 $(X,Y)$ 的取值为 $(x_i,y_j),i,j = 1,2,\cdots$ ，

称 $P\left \{ {X = x_i,Y = y_j} \right \} = p_{ij},i,j = 1,2,\cdots$ 为 $(X,Y)$ 的联合概率分布，简称概率分布，也可用列表法表示。

2.联合概率分布的性质

$p_{ij} \geq 0,i,j = 1,2,\cdots$
$\sum\limits_{i}\sum\limits_{j} p_{ij} = 1$

【评注】性质（1）、（2）构成联合概率分布的充要条件。

3.边缘概率分布的定义

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合概率分布为 $P\left \{ {X = x_i,Y = y_j} \right \}= p_{ij},i,j = 1,2,\cdots$ ，分别称
$p_{i \bullet} = P\left \{ {X = x_i} \right \} = \sum\limits_{j} p_{ij},i = 1,2,\cdots$ 第i行概率的和
$p_{\bullet j} = P\left \{ {Y = y_j} \right \} = \sum\limits_{i} p_{ij},j = 1,2,\cdots$ 第j列概率的和
为 $(X,Y)$ 关于 $X$ 和 $Y$ 的边缘概率分布。

4.条件概率分布的定义

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合概率分布为 $P\left \{ {X = x_i,Y = y_j} \right \} = p_{ij},i,j = 1,2,\cdots$ ，

称 $P\left \{ {X = x_i | Y = y_j} \right \} =\frac{P\left \{ X=x_i,Y=y_i \right \}}{P\left \{ Y=y_i \right \}} =\frac{p_{ij}}{p_{\bullet j}}$ 为在 $Y = y_j$ 的条件下， $X$ 的条件概率分布；

称 $P\left \{ {Y = y_j | X = x_i} \right \} = \frac{p_{ij}}{p_{i \bullet}}$ 为在 $X = x_i$ 的条件下， $Y$ 的条件概率分布。

专题三二维连续型随机变量

1.联合概率密度的定义

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数为 $F(x,y)$ ，若存在非负可积函数 $f(x,y)$ ，对任意实数 $x,y$ ，有 $F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}du\int_{-\infty}^{y}f(u,v)dv$ ，则称 $(X,Y)$ 为二维连续型随机变量， $f(x,y)$ 为 $(X,Y)$ 的联合概率密度，简称概率密度。二重反常变限积分

2.联合概率密度的性质

1.非负性： $f(x,y)\geq0$ ， $-\infty < x < +\infty$ ， $-\infty < y < +\infty$

2.归一性： $\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy = 1$

3.★概率计算： $P{(X,Y)\in D}=\iint_{D}f(x,y)dxdy$

求X,Y取值的概率，将X,Y改为x,y，对联合概率密度的二重积分

4.导数关系：在 $f(x,y)$ 的连续点处有 $\frac{\partial^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)$

评注：性质（1）和（2）构成联合概率密度的充要条件。

3.边缘概率密度的定义

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合概率密度为 $f(x,y)$ ，分别称
$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$
$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$
为 $(X,Y)$ 关于 $X$ 和 $Y$ 的边缘概率密度。

4.条件概率密度的定义

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合概率密度为 $f(x,y)$ ，称
$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$
为在 $Y = y$ 的条件下， $X$ 的条件概率密度；

称
$f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$
为在 $X = x$ 的条件下， $Y$ 的条件概率密度。

专题四随机变量的独立性

1.随机变量相互独立的定义

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数为 $F(x,y)$ ，边缘分布函数分别为 $F_X(x)$ 和 $F_Y(y)$ 。

若对任意实数 $x,y$ ，有
$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y),$
则称 $X$ 与 $Y$ 相互独立。（互不影响

2.随机变量相互独立的充要条件

$X$ 与 $Y$ 相互独立
$\Leftrightarrow F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$

2.离散型： $\Leftrightarrow p_{ij}=p_{i\bullet}p_{\bullet j}$

3.连续型： $\Leftrightarrow f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

评注：若 $X$ 与 $Y$ 独立， $h,g$ 为连续函数，则 $h(X)$ 与 $g(Y)$ 独立。

专题五二维均匀分布与二维正态分布

1.二维均匀分布

设 $(X,Y)$ 的联合概率密度为
$f(x,y)=\begin{cases} \frac{1}{S_D}, & (x,y)\in D \\ 0, & \end{cases}$ 其他
称 $(X,Y)$ 服从区域 $D$ 上的均匀分布，记作 $(X,Y)\sim U(D)$ 。

性质：
若 $(X,Y)\sim U(a,b)\times(c,d)$ ，则 $X\sim U(a,b)$ ， $Y\sim U(c,d)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 独立。

2.二维正态分布

$(X,Y)$ 的联合概率密度为
$f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\left(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right)^2-\frac{2\rho(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\left(\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}\right)^2\right]}$
其中 $\sigma_1,\sigma_2>0$ ， $|\rho|<1$ ，记作 $(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)$ 。

性质：

二维正态分布两个边缘分布均为一维正态分布，反之不成立，独立时成立

特别地：若 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $aX+bY\sim N(a\mu_1+b\mu_2,a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2)$ 。

边缘分布： $X \sim N(\mu_1,\sigma_1^2),Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$ （反之不成立）。
独立性与相关性： $X$ 与 $Y$ 独立 $\Leftrightarrow \rho=0$ （X与Y不相关）。
线性组合： $aX + bY\sim N(a\mu_1 + b\mu_2,a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2 + 2ab\rho\sigma_1\sigma_2)$ 。

相互独立的正态分布的线性组合仍为正态分布

专题六二维随机变量函数的分布

1.二维离散型随机变量函数的分布

【例 3.8】设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合概率分布为

求：

（1） $P\{X = 2|Y = 2\}$ ， $P\{Y = 3|X = 0\}$ ；

（2） $V = \max\{X,Y\}$ 的概率分布；

（3） $U = \min\{X,Y\}$ 的概率分布；

（4） $W = V + U$ 的概率分布。

【详解】

（1）

$P\{X = 2|Y = 2\} = \frac{P\{X = 2,Y = 2\}}{P\{Y = 2\}} = \frac{P\{X = 2,Y = 2\}}{\sum_{i = 0}^{5}P\{X = i,Y = 2\}} = \frac{0.05}{0.25} = \frac{1}{5}$

$P\{Y = 3|X = 0\} = \frac{P\{Y = 3|X = 0\}}{P\{X = 0\}} = \frac{0.01}{0.03} = \frac{1}{3}$

（2）

例如求V=2的概率分布，那么X取2，Y取2,1,0；Y取2，X取2,1,0

由 $P\{V = i\} = P\{\max\{X,Y\} = i\}$

$= P\{X = i,Y < i\} + P\{X \leq i,Y = i\}$

$= \sum_{k = 0}^{i - 1}P\{X = i,Y = k\} + \sum_{k = 0}^{i}P\{X = k,Y = i\},i = 0,\cdots,5$

得 $V = \max\{X,Y\}$ 的概率分布为

（3）

例如求U=2的概率分布，那么X取2，Y取2,3,；Y取2，X取2,3,4,5

由 $P\{U = i\}$

$= P\{\min\{X,Y\} = i\} = P\{X = i,Y \geq i\} + P\{X > i,Y = i\}$ $= \sum_{k = i}^{3}P\{X = i,Y = k\} + \sum_{k = i + 1}^{5}P\{X = k,Y = i\},i = 0,1,2,3$

得 $U = \min\{X,Y\}$ 的概率分布

（4）

由 $W = V + U = \max\{X,Y\} + \min\{X,Y\} = X + Y$

得

2.二维连续型随机变量函数的分布

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合概率密度为 $f(x,y)$ ，求 $Z = g(X,Y)$ 的概率密度。

方法一：分布函数法（三大步）
（1）设 $Z$ 的分布函数为 $F_Z(z)$ ，则 $F_Z(z) = P\left \{ {Z \leq z} \right \} = P\left \{ {g(X,Y) \leq z} \right \}$ 。
（2）求 $Z = g(X,Y)$ 在 $(X,Y)$ 的正概率密度区域的值域 $(\alpha,\beta)$ ，讨论 $z$ 。
当 $z < \alpha$ 时， $F_Z(z) = 0$ ；
当 $\alpha \leq z < \beta$ 时， $F_Z(z) = \iint_{g(x,y) \leq z} f(x,y)dxdy$ ；
当 $z \geq \beta$ 时， $F_Z(z) = 1$ 。
（3） $Z$ 的概率密度为 $f_Z(z) = F_Z'(z)$ 。

方法二：卷积公式（四则运算）
（1）设 $Z = aX + bY$ （ $z=ax+by$ ），则 $f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{|b|} f\left(x,\frac{z - ax}{b}\right)dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{|a|} f\left(\frac{z - by}{a},y\right)dy$

其中， $\frac{1}{|b|}\Leftrightarrow |\frac{\partial y}{\partial z}|$ ， $\frac{1}{|a|}\Leftrightarrow |\frac{\partial x}{\partial z}|$ , $\frac{z-ax}{b}\Leftrightarrow y$ ， $\frac{z-by}{a}\Leftrightarrow y$ 。
（2）设 $Z = XY$ ，则 $f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{|x|} f\left(x,\frac{z}{x}\right)dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{|y|} f\left(\frac{z}{y},y\right)dy$ 。
（3）设 $Z = \frac{Y}{X}$ ，则 $f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} |x| f(x,xz)dx$ ；设 $Z = \frac{X}{Y}$ ，则 $f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} |y| f(yz,y)dy$ 。

总结：卷积公式

先确定E的范围，再任取z，沿x轴正方向穿针，确定x的范围

$f_z(z)=\left\{\begin{matrix} f_0^z(2-z)dx=2z-z^2,0<z<1\\ f_{z-1}^1(2-z)dx=(2-z)^2,1\leq z<2\\ 0, \end{matrix}\right.$ 其他

3.★一离散一连续随机变量函数的分布

已知离散型随机变量 $X$ 的概率分布与连续型随机变量 $Y$ 的概率密度，

求 $Z = g(X,Y)$ 的分布。

利用分布函数法，由全概率公式，对 $X$ 的所有取值展开计算。

4.最值函数的分布

设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 相互独立，分布函数分别为 $F_{X_1}(x),F_{X_2}(x),\cdots,F_{X_n}(x)$ ，则 $\max\left \{ {X_1,X_2,\cdots,X_n} \right \}$ 的分布函数为

$F_{\max}(x) = P\left \{ {\max\left \{ {X_1,X_2,\cdots,X_n} \right \}\leq x} \right \}$

$= P\left \{ {X_1 \leq x,X_2 \leq x,\cdots,X_n \leq x} \right \}$

$= F_{X_1}(x)F_{X_2}(x)\cdots F_{X_n}(x)$ 。

$\min\left \{ {X_1,X_2,\cdots,X_n} \right \}$ 的分布函数为

$F_{\min}(x) = P\left \{ {\min\left \{ {X_1,X_2,\cdots,X_n} \right \} \leq x} \right \}$

求逆 $= 1 - P\left \{ \min\left \{ {X_1,X_2,\cdots,X_n} \right \}>x \right \}$

$=1-P\left \{ X_1>x,X_2>x,\cdots,X_n>x \right \}$

独立 $=1-P\left \{ X_1>x\right \}P\left \{ X_2>x\right \}\cdots P\left \{ X_n>x \right \}$

求逆 $=1-\left [ 1-P\left \{ X_1\leq x\right \} \right ]\left[ 1-P\left \{ X_2\leq x\right \} \right ] \cdots \left[ 1-P\left \{ X_n\leq x\right \} \right ]$