数字波束赋型及其数学原理介绍
一、数字波束赋型Beamforming的简介
多天线技术和OFDM技术一起并称为LTE的两大最重要物理层技术。
也是LTE众多技术中难点之一，是LTE通信中涉及范围广的技术之一，从MAC层到物理层，再到RF层，都有多天线技术涉及的场合。
数字波束赋型和MIMO都是多天线技术的应用，或者说数字波束赋型和MIMO的基础都是多天线技术。
二、什么是波束赋型
想象一下，你有一个手电筒（代表单一天线）和一个探照灯（代表天线阵列+波束赋型）。
单一天线（手电筒）： 光线向四周均匀散射。虽然能照亮一大片区域，但每个点的亮度都不高，能量被浪费了。
波束赋型（探照灯）： 通过调整透镜和反射镜，将光线聚焦成一束明亮的光柱，精准地照射到特定目标上。这样，在目标点上的亮度极高，而其他区域则很暗。
波束赋型 的核心思想就是如此：通过控制多根天线发射信号的相位和幅度，使电磁波能量在空间中特定方向上进行 “建设性干涉” （信号增强），而在其他方向上进行 “破坏性干涉” （信号抵消），从而形成一道集中的、可指向特定用户的“能量束”——波束。
三、为什么需要波束赋型
提升信号质量： 将能量集中给目标用户，相当于提高了用户的信噪比，从而可以获得更高的数据传输速率。
扩大覆盖范围： 集中的能量可以传播得更远，有效弥补高频段信号（如5G毫米波）穿透力差、路径损耗大的缺点。
降低干扰： 波束只对准需要的用户，避免了向四面八方发射信号时对其他用户造成的干扰。
提高频谱效率： 通过空分复用，基站可以在同一时间、同一频率资源上，通过不同的波束为多个用户提供服务。这是大规模MIMO 的核心价值。
4G vs. 5G
4G: 主要使用2.6GHz等较低频段，波束赋型技术相对简单，通常是基于宽波的，用于提升小区边缘用户的信号质量。
5G: 尤其是毫米波频段，路径损耗巨大，波束赋型从“可选项”变成了“必选项”。5G Massive MIMO（大规模天线阵列）使得生成高精度、窄波束成为可能，是实现5G超高速率和连接密度的关键技术。
四、数字波束赋型的数学原理
这是本文的核心。我们从一个最简单的模型开始。
1. 系统模型假设
我们有一个由 N 个天线阵元组成的均匀线性阵列。
天线间距为 d，通常取半波长，即 d = λ/2。
一个远场的窄带信号，波长为 λ，从与阵列法线方向成 θ 角的方向入射。
我们的目标是：通过数字方式控制每个天线发射信号的权重（包括幅度和相位），使发射总能量指向角度 θ₀。
2. 核心概念：相位差与导向矢量
物理相位差：
电磁波到达相邻两个天线时，存在一个波程差：Δl = d * sin(θ)。
这个波程差会带来一个相位差：Δφ = 2π * (Δl / λ) = 2π * (d / λ) * sin(θ)。
因此，对于第 n 根天线（以第0根为参考），其接收到的信号相对于参考天线有一个天然的相位延迟：φ_n = 2π * n * (d / λ) * sin(θ)。
导向矢量：
这是一个非常重要的数学工具，它描述了来自方向 θ 的信号在阵列各个天线上产生的相位响应向量。
a(θ) = [1, e^{-jΔφ}, e^{-j2Δφ}, ..., e^{-j(N-1)Δφ}]^T
其中 Δφ = 2π * (d / λ) * sin(θ)，j 是虚数单位。
导向矢量 a(θ) 捕捉了空间角度 θ 与阵列相位响应之间的映射关系。
3. 波束赋型权重与合成
现在，我们不是接收，而是要发射一个指向 θ₀ 的波束。
权重矢量：
我们为每个天线分配一个复数权重 w_n。w_n 的幅度控制发射功率，w_n 的相位用于补偿相位差。
权重矢量：w = [w₀, w₁, w₂, ..., w_{N-1}]^T
波束赋型操作：
为了让所有天线在 θ₀ 方向发射的信号同相叠加（建设性干涉），我们需要抵消掉因波程差带来的相位延迟。
最直接的方法就是让权重矢量的相位与导向矢量的相位相反。即，我们令：
w = a(θ₀)^H （H 表示共轭转置，即取复数共轭并转置）
展开写就是：w = [1, e^{jΔφ₀}, e^{j2Δφ₀}, ..., e^{j(N-1)Δφ₀}]^H
其中 Δφ₀ = 2π * (d / λ) * sin(θ₀)。
阵列响应：
现在，我们想知道这个加权后的天线阵列，在任意角度 θ 上的响应强度是多少。
这可以通过计算权重矢量与来自角度 θ 的导向矢量的内积得到：
y(θ) = w^H * a(θ)
将 w = a(θ₀) 代入：
y(θ) = a(θ₀)^H * a(θ)
4. 数学推导与波束图形成
让我们把上面的内积展开计算：
y(θ) = Σ_{n=0}^{N-1} [ e^{j n Δφ₀} ]^* * [ e^{-j n Δφ} ]
= Σ_{n=0}^{N-1} e^{-j n Δφ₀} * e^{-j n Δφ}
= Σ_{n=0}^{N-1} e^{-j n (Δφ₀ + Δφ)}
= Σ_{n=0}^{N-1} e^{-j n ψ} (令 ψ = 2π*(d/λ)*(sin(θ) - sin(θ₀)))
这是一个首项为1，公比为 e^{-jψ} 的等比数列求和。
y(θ) = { 1 - e^{-jNψ} } / { 1 - e^{-jψ} }
利用欧拉公式，可以将其转化为更直观的形式：
y(θ) = e^{-j(N-1)ψ/2} * { sin(Nψ/2) / sin(ψ/2) }
我们通常关心的是响应的幅度（功率）：
|y(θ)| = | { sin(Nψ/2) / sin(ψ/2) } |
这个函数就是著名的阵列因子。当我们固定 θ₀（即目标方向），扫描 θ 从 -90° 到 90° 时，|y(θ)| 随 θ 变化的图形就是波束方向图。
5. 关键数学结论
主瓣： 当 θ = θ₀ 时，ψ = 0，根据洛必达法则，|y(θ₀)| = N。这是响应最大的方向，即主瓣。增益是单天线的 N 倍。
零陷： 当 sin(Nψ/2) = 0 但 sin(ψ/2) ≠ 0 时，响应为0。这些点形成了方向图中的“零点”，可以用来抑制来自特定方向的干扰。
旁瓣： 在主瓣两侧会出现一些能量较小的副瓣，称为旁瓣。
波束宽度： 主瓣的宽度（通常指3dB波束宽度）反比于天线数量 N。N 越大，波束越窄，越精准。
五、更复杂的波束赋型
上述是最简单的波束赋型。在实际系统（如5G NR）中，情况更复杂：
自适应波束赋型： 权重 w 不是预先设定的，而是根据信道状态信息实时计算。例如，通过估计信道矩阵 H，可以使用迫零 或最小均方误差 等算法来计算最优权重，以同时服务多个用户并抑制用户间干扰。
多用户波束赋型： 基站同时生成多个波束，指向不同的用户。数学上就是为每个用户 k 计算一个权重矢量 w_k，并确保 w_k^H * a(θ_i) ≈ 0 （当 k ≠ i 时），即波束间互不干扰。
混合波束赋型： 在毫米波系统中，由于射频链路的成本和功耗，通常采用数字+模拟的混合架构。一部分波束成形在数字域完成（粗调），另一部分在模拟域通过移相器完成（精调）。
六、总结
概念 | 描述 | 数学表示/关键点 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
目标 | 将无线能量聚焦到特定方向 | 提高信噪比，扩大覆盖，降低干扰 | ||||
核心手段 | 控制多天线信号的相位和幅度 | 复数权重矢量 w | ||||
空间表征 | 导向矢量 |
| ||||
波束形成 | 权重与导向矢量匹配 |
| ||||
波束方向图 | 阵列在不同方向的响应 | ` | y(θ) | = | sin(Nψ/2) / sin(ψ/2) | ` |
数学本质 | 电磁波在空间的建设性/破坏性干涉 | 等比数列求和 | ||||
系统增益 | 主瓣增益与天线数 N 成正比 |
|
数字波束赋型是将空间作为通信的一个新的自由度来利用的典范，它是4G向5G演进中MIMO技术的核心，也是未来6G通信技术的基石。理解其背后的数学原理，对于深入掌握现代无线通信系统至关重要。