【C++】AVL树：详细使用及旋转

目录

一 AVL的概念

二 AVL树的实现

1 AVL树的结构

2 AVL树的插入

1 ）AVL树插入一个值的大概过程

2）平衡因子更新

更新原则：

更新停止条件：

更新示例：

​编辑

3）插入节点及更新平衡因子的代码实现

三 旋转

1 旋转的原则

2 右单旋（特点是左边高）

2 左单旋（特点是右边高）

3 左右双旋

4 右左双旋

5 完整代码补充

四 AVL树的查找

五 AVL树平衡检验

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一 AVL的概念

• AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树，AVL是一颗空树，或者具备下列性质的二叉搜索树：它的左右子树都是AVL树，且左右子树的高度差的绝对值不超过1。AVL树是一颗高度平衡搜索二叉树，通过控制高度差去控制平衡。

• AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis，他们是两个前苏联的科学家，在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中发表了它。

• AVL树实现这里我们引入一个平衡因子(balance factor)的概念，每个结点都有一个平衡因子，任何结点的平衡因子等于右子树的高度减去左子树的高度，也就是说任何结点的平衡因子等于0/1/-1。AVL树并不是必须要平衡因子，但是有了平衡因子可以更方便我们去进行观察和控制树是否平衡，就像一个风向标一样。

• 思考一下为什么AVL树是高度平衡搜索二叉树，要求高度差不超过1，而不是高度差是0呢？0不是更好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，而是有些情况是做不到高度差是0的。比如一棵树是2个结点、4个结点等情况下，高度差最好就是1，无法做到高度差是0。

• AVL树整体结点数量和分布和完全二叉树类似，高度可以控制在O(log n)，那么增删查改的效率也可以控制在O(log n)，相比二叉搜索树有了本质的提升。

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二 AVL树的实现

1 AVL树的结构

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{// 需要parent指针，后续更新平衡因⼦可以看到 pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf; // balance factor平衡因子AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr),_bf(0){}
};template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public://...
private:Node* _root = nullptr;
};

2 AVL树的插入

1 ）AVL树插入一个值的大概过程

1. 插入一个值按二叉搜索树规则进行插入。

2. 新增结点以后，只会影响祖先结点的高度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因子。因此需要更新从新增结点到根结点路径上的平衡因子，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停止了，具体情况我们下面再详细分析。

3. 若更新平衡因子过程中没有出现问题，则插入结束。

4. 若更新平衡因子过程中出现不平衡，需对不平衡子树进行旋转。旋转后本质上是调整了平衡，同时降低了子树的高度，不会再影响上一层，因此插入结束。

2）平衡因子更新

更新原则：

• 平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度

• 只有子树高度变化，才会影响当前结点的平衡因子。

• 插入结点会使对应子树高度增加：若新增结点在parent的右子树，parent的平衡因子++；若新增结点在parent的左子树，parent的平衡因子--。

• parent所在子树的高度是否变化，决定了是否需要继续往上更新平衡因子。

更新停止条件：

• 更新后parent的平衡因子等于0：更新过程中parent的平衡因子从-1变为0，或从1变为0。这说明更新前parent的子树一边高、一边低，新增结点插入到了较低的那边，插入后parent所在子树的高度不变，不会影响parent的父亲结点的平衡因子，更新结束。

• 更新后parent的平衡因子等于1或-1：更新过程中parent的平衡因子从0变为1，或从0变为-1。这说明更新前parent的子树两边高度一致，新增结点插入后，子树变为一边高、一边低，但仍符合AVL树的平衡要求，且子树高度增加了1，会影响parent的父亲结点的平衡因子，因此需要继续向上更新。 •

更新后parent的平衡因子等于2或-2：更新过程中parent的平衡因子从1变为2，或从-1变为-2。这说明更新前parent的子树已存在高低差，新增结点插入到了较高的那边，导致子树的高度差进一步扩大，破坏了平衡。此时需要对parent所在的子树进行旋转，旋转的目标有两个：1、使parent的子树恢复平衡；2、降低parent子树的高度，恢复到插入结点之前的高度。旋转后无需继续向上更新，插入结束。

• 若持续向上更新至根结点，当根结点的平衡因子变为1或-1时，更新停止，插入流程结束。

更新示例：

3）插入节点及更新平衡因子的代码实现

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;// 更新平衡因⼦ while (parent){// 更新平衡因⼦ if (cur == parent->_left)parent->_bf--;elseparent->_bf++;if (parent->_bf == 0){// 更新结束 break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){// 继续往上更新 cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 不平衡了，旋转处理 break;}else{assert(false);}}return true;
}

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三 旋转

1 旋转的原则

1. 旋转需保持二叉搜索树的核心规则（左子树所有节点值小于根节点，右子树所有节点值大于根节点）。

2. 旋转的核心目标有两个：一是让原本不平衡的子树恢复平衡（满足AVL树高度差要求），二是降低该子树的高度，避免影响上层节点的平衡状态。 旋转共分为四种类型：左单旋、右单旋、左右双旋、右左双旋。

说明：下面的图中，部分结点标注了具体值（如10、5等），仅为方便讲解逻辑。实际应用中，结点值可任意设定，只要满足二叉搜索树的大小关系规则即可。

2 右单旋（特点是左边高）

• 本图1展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是一棵整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树，是一种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体图2/图3/图4/图5进行了详细描述。

• 在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平衡因子从-1变成-2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太高了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡。

• 旋转核心步骤，因为5 < b子树的值 < 10，将b变成10的左子树，10变成5的右子树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原则。如果插入之前10是整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。

代码实现：
我们以图一为示例：

void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;// 需要注意除了要修改孩⼦指针指向，还是修改⽗亲 parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;Node* parentParent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;// parent有可能是整棵树的根，也可能是局部的⼦树 // 如果是整棵树的根，要修改_root // 如果是局部的指针要跟上⼀层链接 if (parentParent == nullptr){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (parent == parentParent->_left){parentParent->_left = subL;}else{parentParent->_right = subL;}subL->_parent = parentParent;}parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

  

2 左单旋（特点是右边高）

• 本图6展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树（h>=0），a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是一棵整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树，是一种概括抽象表示，它代表了所有左单旋的场景，实际左单旋形态有很多种，具体跟上面右单旋类似。

• 在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平衡因子从1变成2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太高了，需要往左边旋转，控制两棵树的平衡。

  • 旋转核心步骤，因为10 < b子树的值 < 15，将b变成10的右子树，10变成15的左子树，15变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵树的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原则。如果插入之前10是整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。

代码实现：
 

void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if(subRL)subRL->_parent = parent;Node* parentParent = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (parentParent == nullptr){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (parent == parentParent->_left){parentParent->_left = subR;}else{parentParent->_right = subR;}subR->_parent = parentParent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

3 左右双旋

单旋是纯粹的一边高，但是双旋不是存粹的一边高

通过图7和图8可以看到，当树的左边偏高时，若插入位置不在a子树，而是在b子树，会导致b子树的高度从h变成h+1，进而引发不平衡。此时仅通过右单旋无法解决问题，旋转后树依旧处于不平衡状态。 右单旋仅适用于“纯粹左边偏高”的场景，而当插入节点在b子树时，以10为根的子树不再是单纯的左边偏高——对10而言是左边高，但对5而言是右边高。这种情况下需要通过两次旋转才能恢复平衡：先以5为旋转点进行一次左单旋，再以10为旋转点进行一次右单旋，经过这两次旋转后，该子树即可恢复平衡。

• 图7和图8分别为左右双旋中h==0和h==1的具体场景分析，下面我们将a/b/c子树抽象为高度h的AVL子树进行分析。另外，我们需要把b子树的细节进一步展开为8，以及左子树高度为h-1的e和f子树——因为要对b的父亲5为旋转点进行左单旋，而左单旋需要操作b树中的左子树。由于b子树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也会不同，通过观察8的平衡因子差异，这里我们分三个场景讨论。

• 场景1：h >= 1时，新增结点插入在e子树，e子树的高度从h-1变为h，并不断更新8→5→10的平衡因子，最终引发旋转。其中8的平衡因子为-1，旋转后8和5的平衡因子变为0，10的平衡因子变为1。

• 场景2：h >= 1时，新增结点插入在f子树，f子树的高度从h-1变为h，并不断更新8→5→10的平衡因子，最终引发旋转。其中8的平衡因子为1，旋转后8和10的平衡因子变为0，5的平衡因子变为-1。

• 场景3：h == 0时，a/b/c均为空树，b本身就是新增结点，不断更新5→10的平衡因子，最终引发旋转。其中8的平衡因子为0，旋转后8、10和5的平衡因子均变为0。

场景1和场景2都是对b的旋转，场景1是b的子树e新增，场景2是b的子树f新增

最后旋转完我们发现，根节点变成了b子树的根据地，而10和15两个节点变成了b的孩子节点

场景1细节详解：

先对第二个图中的蓝色部分进行左旋转，使整个树变成彻底的左旋（如图三），再对整体进行右旋，得到旋转完成的图四

双旋最重要的是平衡因子的处理

我们通过图9来判断平衡因子的情况：（1）如果是对e插入，那么subLR的平衡因子就会变成-1（2）如果是对f插入，那么subLR的平衡因子就会变成1，（3）subLR的平衡因子是0

情况(3):就是b整个部分都为空，插入节点时刚好插入到subL的右节点位置
 

// 参数parent：不平衡子树的根节点（平衡因子为-2，即左子树比右子树高2）
void RotateLR(Node* parent) {// 1. 定义关键节点指针，明确节点关系Node* subL = parent->_left;    // subL：parent的左子树Node* subLR = subL->_right;    // subLR：subL的右子树int bf = subLR->_bf;           // 2. 第一步：对parent的左子树（subL）进行左单旋RotateL(parent->_left); // 3. 第二步：对原不平衡根节点（parent）进行右单旋RotateR(parent);         // 4. 根据subLR旋转前的平衡因子，调整三个核心节点（subL、subLR、parent）的平衡因子// 核心原则：旋转后子树高度恢复到插入前状态，平衡因子需同步重置为合理值if (bf == 0) {// 场景3：h==0时，subLR是新增节点（e、f子树为空）subL->_bf = 0;     subLR->_bf = 0;      parent->_bf = 0;    } else if (bf == -1) {// 场景1：h>=1时，新增节点插入在subLR的左子树（e子树）subL->_bf = 0;     subLR->_bf = 0;      parent->_bf = 1;     } else if (bf == 1) {// 场景2：h>=1时，新增节点插入在subLR的右子树（f子树）subL->_bf = -1;      subLR->_bf = 0;      parent->_bf = 0;   } else{// 异常情况：平衡因子只能是-1、0、1，否则说明之前的平衡因子维护有误assert(false);}
}

4 右左双旋

• 跟左右双旋类似，下面我们将a/b/c子树抽象为高度h的AVL子树进行分析，另外我们需要把b子树的细节进一步展开为12和左子树高度为h-1的e和f子树，因为我们要对b的父亲15为旋转点进行右单旋，右单旋需要动b树中的右子树。b子树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察12的平衡因子不同，这里我们要分三个场景讨论。

• 场景1：h >= 1时，新增结点插入在e子树，e子树高度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为-1，旋转后10和12平衡因子为0，15平衡因子为1。

• 场景2：h >= 1时，新增结点插入在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为1，旋转后15和12平衡因子为0，10平衡因子为-1。

• 场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b自己就是一个新增结点，不断更新15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为0，旋转后10和12和15平衡因子均为0。

void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

5 完整代码补充

我们写完旋转的代码，需要在前面写过的AVL树的代码实现部分加入

bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key);//cur->_bf = 0;if (parent->_key < key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;// 控制平衡// 1、更新平衡因子while (parent){if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 0){// parent所在的子树高度不变，不会再影响上一层，更新结束break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){// parent所在的子树高度变了，会再影响上一层，继续往上更新cur = parent;parent = parent->_parent;}else if(parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// parent所在的子树已经不平衡了，需要旋转处理if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}break;}else{assert(false);}}return true;}

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四 AVL树的查找

Node* Find(const K& key)
{Node* cur = _root;while (cur)
1
2
3
4 {if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;
}

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五 AVL树平衡检验

我们实现的AVL树是否合格，我们通过检查左右子树高度差的的程序进行反向验证，同时检查⼀下结点的平衡因子更新是否出现了问题。

int _Height(Node* root)
{if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}bool _IsBalanceTree(Node* root)
{// 空树也是AVL树 if (nullptr == root)return true;// 计算pRoot结点的平衡因⼦：即pRoot左右⼦树的⾼度差 int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);int diff = rightHeight - leftHeight;// 如果计算出的平衡因⼦与pRoot的平衡因⼦不相等，或者 // pRoot平衡因⼦的绝对值超过1，则⼀定不是AVL树 if (abs(diff) >= 2){cout << root->_kv.first << "⾼度差异常" << endl;return false;}if (root->_bf != diff){cout << root->_kv.first << "平衡因⼦异常" << endl;return false;}// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树⼀定是AVL树 return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}// 测试代码 
void TestAVLTree1()
{AVLTree<int, int> t;// 常规的测试⽤例 //int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };// 特殊的带有双旋场景的测试⽤例 int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };for (auto e : a){t.Insert({ e, e });}t.InOrder();cout << t.IsBalanceTree() << endl;
}// 插⼊⼀堆随机值，测试平衡，顺便测试⼀下⾼度和性能等 
void TestAVLTree2()
{const int N = 100000;vector<int> v;v.reserve(N);srand(time(0));for (size_t i = 0; i < N; i++){v.push_back(rand()+i);}size_t begin2 = clock();AVLTree<int, int> t;for (auto e : v){t.Insert(make_pair(e, e));}size_t end2 = clock();cout << "Insert:" << end2 - begin2 << endl;cout << t.IsBalanceTree() << endl;cout << "Height:" << t.Height() << endl;cout << "Size:" << t.Size() << endl;size_t begin1 = clock();// 确定在的值 /*for (auto e : v){t.Find(e);}*/// 随机值 for (size_t i = 0; i < N; i++){t.Find((rand() + i));}size_t end1 = clock();cout << "Find:" << end1 - begin1 << endl;
}