P11096 体育课 top51goc CSP2025模拟第二次第二题题解​ ​

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题面如上

大体意思就是:

有$n$个元素，你可以选择$l$和$r$两个位置($1\le l\le r\le n$),在这两个位置所构成的区间内($l\le i\le r$)的所有元素将从左往右升序排序，然后求每两个元素排序后的最大距离的和

由于($1\le l\le 3000$)
我们只需要双重循环两两遍历时，将找$i$和$j$两个人的最大距离的时间复杂度降到$O(1)$

试想以下思路:

第一种排序情况便是将所有元素都选中，此时两者的距离变为 $|p[i]-p[j]|$但是这并不一定的最优情况。

所以又有以下两种

对于$i$这个人来说，要与$j$的距离更远，由于($i\le j$)就要让更多的元素到 $(i+1)\sim (j-1)$的这个区间，所以让$1\sim i$的元素都选中$(l=1,r=i)$参与排序，通过升序排序把前面比他大的元素到$(i+1)\sim (j-1)$这个区间里，而这样，他远离$j$的距离就是原本在 $1\sim (i-1)$ 区间之内的比他大的数的个数

反之对于$j$这个人来说，要与$i$的距离更远，由于($j\ge i$)，所以让更多的元素到&(i+1) \sim (j-1)&的这个区间，所以让$j\sim n$这个区间里的所有元素都选中$(l=j,r=n)$都参与排序，升序排序会将它原本后面小于它的元素排到他的前面，而这样他远离$i$的距离就是原本在 $(j+1)\sim n$区间之内比他小的元素的个数

而每两个人之间的最大距离就是这三种情况里的最优解

为了$O(1)$查询$1\sim (i-1)$和$(j+1)\sim n$这两个区间里的符合条件的元素个数

我们使用两个标记数组来预处理$1\sim (i-1)$ 区间之内的比$p[i]$大的数的个数

和 $(j+1)\sim n$区间之内比$p[j]$小的元素的个数

预处理大概框架(伪代码)

for i 1 n
{for j 1 i-1if p[j] > p[i]cnt1[i] + 1for j i + 1 nif p[j] < p[i]cnt2[i] + 1
}

最后就是求和了

在 排序$1\sim i$这个区间 和 排序 $j\sim n$这个区间 取最优解 再加上原本$j$与$i$的距离

也就是$max$($1\sim (i-1)$ 区间之内的比$p[i]$大的数的个数,$(j+1)\sim n$区间之内比$p[j]$小的元素的个数) 再加上原本$j$与$i$的距离

也就是$max(cnt1[i],cnt2[j])+(j-i)$

还要和将所有元素都选中的这种情况进行最优解比较

也就是$max(max(cnt1[i],cnt2[j])+(j-i),|p[i]-p[j]|)$

求和大概框架(伪代码)

for i 1 n-1
{for j i+1 n{//为了方便书写// 定义一个temp保存1、2两种情况的最优解temp = max(cnt1[i], cnt2[j]) + (j - i)temp = max(temp, abs(p[i] - p[j])) //与全选的情况最优解比较ans + temp }
}

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