算法学习--快速幂

基本概念：

快速幂--模板

   对于暴力解法--直接求a^b很容易出现超时以及存不下的问题（主要是超时问题），使用快速幂可以减少时间复杂度。

算法原理：假如要求5^10，对于幂数10我们使用二进制表示--1010，对于10可以看成2^3*2^1，5^10也就转化为

   我们可以把这个计算过程看成5不断自乘（降低时间复杂度的核心），并且还只需要得到5^8和5^2这两个部分即可。既然是不断自乘，那又是怎么确定需要那些幂数呢，解决方法就是上面的二进制转化。

   任何的数都能用二进制表示，我们把目标幂数看成二进制，在底数不断自乘的同时用位运算判断该处的权值是否需要计入，若为1就计入，否则为0不计入。

模板：

typedef long long ll;
ll calc(ll a,ll b,ll p)
{int ret=1;while(b){if(b&1){ret=(ret*a)%p;}a=a*a%p;b>>=1;}return ret%p;
}

   补充说明一下，底数自乘的过程中其幂是以二倍的方式递增，完全符合二进制右移后最后一位的权值变化。

   模板题目中既然提到了取模运算，捎带手讲一讲。

取模运算中的技巧

   常见的取模计算可分为三种：只有加法和乘法；存在减法；存在除法。由于存在除法时会涉及到后面的逆元，先说前面2中。

只有加法和乘法：

   对于只有加法或乘法的情况下，取模可以放在任意位置（分配律）

存在减法：

   存在减法时可能会出现负数的情况，一旦出现底数为负数就要注意了，负数取模的处理在数学定义和计算机实现中存在差异

场景	数学定义（结果非负）	计算机实现（不同语言有差异）
示例：-5 % 3	数学上，-5 = 3×(-2) + 1，故结果为 1	C++/Java 等语言中，结果为 -2（取商向零取整）；Python 中，结果为 1（取商向下取整，符合数学定义）

   为了消除这种差异，我们需要对负数进行统一的 “模加模” 处理（肉夹馍）：

   运用上面的技巧可以避免取模运算中的数据溢出问题。

   另外，除了a^b这种形式，快速幂也有其它的“样式”，如a*b。

   a*b，a*b我们先看成b个a之和，b同样也可以被转化为二进制，二进制的01同样能体现相关权值。唯一不同的就是由之前a为不断自乘变为a不断自加，后面还有可能会碰到a不断自减之类的情况。

总结

   但是，总的来说其快速幂的思想并没有发生改变，依旧是依靠运算式中某一数（自己找）的二进制中的01表示相关的权值，当其具备目前权值时计入当前的自运算结果。

   毕竟，快速幂的本质是 “二进制拆分 + 分步累积”嘛。