数据结构 11 图

1 分析连通图边数和邻接矩阵非零元素

2 n个结点单独强连通图弧的个数

• 强连通图要求任意两个顶点之间都能互相到达。对于 n 个顶点的强连通图，最少的结构是形成一个有向环。
• 有向环中每个顶点都有一条入弧和一条出弧，因此至少需要 n 条弧。

3 环的结构和生成树

要解决这个问题，我们可以从环的结构和生成树的定义分析：

• 一个含 n 个顶点的环，要构造生成树（含 n - 1条边且连通无环），只需删除环中的任意一条边即可。
• 由于环有 n 条边，因此共有 n 种删除方式，即有 n 棵生成树。

4 有向图顶点度

在有向图中，一个顶点的度分为入度和出度，总度为入度与出度之和。对于有 n 个顶点的有向图，每个顶点最多可以与其余n - 1个顶点产生出弧，同时也可以与其余 (n-1) 个顶点产生入弧，因此总度最大可达 2(n - 1)

5 强连通图的结构特性

要解决这个问题，我们可以从强连通图的结构特性分析：

• 强连通图要求任意两点间可互相到达，最少的结构是形成一个有向环。
• 有向环中每个顶点对应一条弧，因此 n 个顶点的有向强连通图至少需要 n 条弧。

答案：n

6 无向图的边数与顶点数的关系

7 有向图的邻接矩阵不一定对称

8 连通分量的概念适用于无向图

连通分量的概念适用于无向图，指的是无向图中的极大连通子图；而有向图中对应的概念是强连通分量（有向图中的极大强连通子图）。

9 无向图的邻接表

无向图的邻接表是一种用于存储无向图的链式数据结构，其核心思想是为图中的每个顶点建立一个链表，链表中存储与该顶点直接相邻（即有边相连）的所有顶点信息。

具体来说：

这种存储方式能够高效地表示图的结构，便于遍历顶点的邻接节点，且空间复杂度与图的边数相关（对于有 e 条边的无向图，邻接表中共有 2e 个节点）

10 一个有n个结点的图最少有几个连通分量

连通分量是图中的极大连通子图。当图本身是连通图时，连通分量的数量最少，为 1。

11 含有n个结点的完全有向图的边数

一、完全有向图的定义

完全有向图是指：对于具有 n 个顶点的有向图，任意两个不同的顶点之间都存在两条方向相反的弧（即从顶点 i 到顶点 j 有一条弧，同时从顶点 j 到顶点 i 也有一条弧），且不存在自环（顶点到自身的弧）。

二、完全有向图的边数推导

对于 n 个顶点的完全有向图：

12 有向图的连通性和生成树的结构

1. 有向图连通的含义

有向图的 “连通” 通常指弱连通（即忽略弧的方向后， underlying 无向图是连通的）。要让有向图弱连通，需要保证顶点之间通过弧的连接形成一个整体，没有孤立的部分。

2. 有向生成树的结构

为了使边数最少，我们可以构造一个有向生成树：

• 选择一个顶点作为根顶点。
• 对于剩下的n - 1 个顶点，每个顶点都有一条入弧指向它（这些弧来自根或其他已连接的顶点）。
• 这种结构中，弧的数量恰好是 n - 1 条，且能保证所有顶点互相可达（忽略方向时连通，即弱连通）。