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Muon 优化器：通过正交化动量矩阵革命性地加速 AI 大模型训练

news 2025/11/15 7:44:41

引言/导读

在机器学习模型训练的漫长演进中，优化器始终是决定效率和性能的核心工具。长期以来，Adam 优化器及其变体 AdamW 一直占据着主流地位。然而，随着大型语言模型（LLM）的规模不断扩大，Adam 固有的内存消耗和效率瓶颈日益凸显。

本次深度分析将聚焦于一位强大的挑战者——Muon Optimizer（μon），它正在机器学习社区中获得越来越多的关注。Muon 优化器凭借其独特的矩阵结构感知和动量正交化机制，实现了令人瞩目的性能飞跃，在小语言模型上表现出色，并且在计算效率上比 AdamW 快约一倍，这意味着更快的训练速度和更少的内存占用。这篇文章将深入剖析 Muon 优化器的底层原理、它如何克服传统优化器的缺陷，以及如何通过 MuonClip 等技术解决大模型训练中的关键稳定性挑战。

颠覆主流：AdamW的局限与Muon的崛起

优化器的本质是寻找模型参数的“好”值，这一过程被称为优化。梯度下降（Gradient Descent）是基础，它指引参数朝向损失函数降低的方向移动。Adam 正是在此基础上构建的，但它通过维护两种指数移动平均变量来加速收敛：动量（Momentum）（过去梯度的平均）和平方梯度的平均（用于自适应缩放）。

向量型优化器的盲区：Adam 的效率与内存代价

Adam 虽然收敛迅速且效果良好，但其设计带来了两个核心问题：

内存冗余：Adam 需要为模型的每个参数维护两个额外的状态变量。因此，优化器状态占用的内存大约是模型本身的两倍。
结构盲区：Adam 是一种向量型优化器（Vector-based Optimizer），它将所有参数视为一个长长的向量，对每个值独立更新，完全忽略了参数内部可能存在的矩阵结构。

在线性层等神经网络常见结构中，参数自然形成二维矩阵。当使用 Adam 这样的向量型优化器时，这个二维动量矩阵往往趋向于低秩（Low-rank）。这意味着只有少数几个主导方向驱动着参数更新，而许多“稀有方向”贡献微乎其微。

Muon 的核心哲学：矩阵结构与动量正交化

Muon 优化器正是针对 Adam 的“结构盲区”而设计的。它明确地考虑了模型参数的底层矩阵结构。

Muon 的关键创新在于对动量矩阵进行正交化（Orthogonalization）处理：

正交化的目的：通过正交化动量矩阵，Muon 能够放大稀有方向（rare directions）的影响。这些稀有方向虽然看似不重要，但通常对于有效的学习和捕获数据中更细微的模式至关重要。
正交化定义：正交化是一个过程，旨在找到一个与原始动量矩阵 $M$ 尽可能接近的新矩阵 $O$ ，但 $O$ 的行和列必须彼此正交。正交矩阵的一个关键特性是其转置等于其逆。

计算效率的突破：从 SVD 到牛顿-施尔茨迭代

理论上，解决动量矩阵正交化问题有一个强大的工具：奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）。

SVD：理论完美但计算昂贵

任何线性变换（即任何二维矩阵）都可以分解为三个步骤：一次旋转、沿轴线的拉伸或收缩，然后是另一次旋转。SVD 将任何矩阵 $M$ 表示为三个特殊矩阵的乘积： $U \cdot S \cdot V^T$ 。其中 $U$ 和 $V$ 都是正规矩阵（行和列相互正交且长度为单位长度）。

利用 SVD 进行正交化的步骤很简单：计算动量矩阵的 SVD，然后将对角矩阵 $S$ 中所有的奇异值设为一，即可得到所需的正交矩阵 $O$ 。

然而，SVD 过程的计算强度太大，无法在模型训练的每个更新迭代中负担。

R 多项式与牛顿-施尔茨迭代：高效近似正交化

为了解决 SVD 带来的计算瓶颈，Muon 采用了高效的替代方案：R 多项式矩阵函数（R-polynomial Matrix Function）。

R 多项式特性：这种函数作用于矩阵 $M$ 时，其效果与作用于 $M$ 的每个奇异值，然后用原始奇异向量重构矩阵的方式完全相同。这意味着，通过选择适当的系数，R 多项式可以将奇异值推向更接近 1 的目标值，而无需显式计算 SVD。
迭代收敛：通过多次重复应用 R 多项式函数，几乎所有介于 0 到 1 之间的奇异值都会被拉向 1。通过调整系数 $A, B, C$ ，可以进一步加速收敛。
算法实现：在 Muon 算法中，首先计算梯度 $G_T$ 并更新动量 $M$ 。接着，对二维动量矩阵进行归一化以确保初始奇异值在 0 到 1 之间。随后，重复这个正交化过程（例如 5 次）以获得矩阵 $O$ 。

这种利用矩阵乘法实现动量正交化的方法被称为通过牛顿-施尔茨（Newton-Schultz）迭代实现的动量正交化，或者直接称为 Muon。由于整个过程只涉及矩阵乘法，可以被 GPU 高效计算。

确保大模型稳定：从 QKClip 到 MuonClip 的进化

尽管 Muon 在小模型上展示了显著的效率优势，但在扩展到训练更大的模型时，其相对于 AdamW 的性能提升会有所减弱。为了稳定大型模型的训练，Muon 引入了额外的机制：

权重衰减（Weight Decay）：像 AdamW 一样，引入权重衰减机制。
学习率缩放（Learning Rate Scaling）：根据二维矩阵的大小调整学习率。

然而，大模型训练中还存在另一个关键挑战：随着训练的进行，注意力 Logits 会变得越来越大，可能导致训练过程不稳定。

训练中的“危机”：注意力 Logits 爆炸

注意力 Logits 是在 Softmax 之前，通过查询矩阵 $Q$ 乘以键矩阵 $K$ 的转置计算得出的 ( $Q K^T$ )。为了防止 Logits 过大，必须控制查询投影矩阵 $W_Q$ 和键投影矩阵 $W_K$ 的尺度。

QKClip 技术：这是一种常见的稳定策略。通过监控注意力 Logits 的最大值，如果超过预设阈值 $\tau$ ，则计算一个缩放比例 $\gamma$ 。然后，通过将相关的模型参数（ $W_Q$ 和 $W_K$ ）乘以 $\gamma$ 的平方根，将其尺度控制在一个安全范围内。
多头注意力（MHA）的细化：在多头注意力机制中，简单地对所有头应用相同的缩放并不合理。因此，需要为每个注意力头引入单独的缩放因子来控制其 Logits。

MuonClip：针对多头潜在注意力 (MLA) 的精确定标

当训练规模继续扩大，研究人员可能会采用如 多头潜在注意力（Multi-head Latent Attention, MLA）等更复杂的架构。MLA 的目的是通过将查询、键和值压缩到低秩空间来减少 KV Cache 的大小。

MLA 的引入带来了与位置编码（如旋转位置编码 RoPE）的兼容性问题。研究人员提出了 解耦 RoPE（Decoupled RoPE）技术，引入额外的多头查询和共享键来编码位置信息。在 MLA/解耦 RoPE 架构中，一个注意力头涉及四种矩阵的组合（压缩查询 $Q_C$ /压缩键 $K_C$ 和旋转查询 $Q_R$ /旋转键 $K_R$ ）。

MuonClip 是 Muon 优化器针对这种复杂 MLA 架构的定制化稳定技术。

针对 R 投影矩阵：对于 R 投影矩阵，MuonClip 会对每个头的参数进行单独缩放。
处理共享矩阵：关键在于处理旋转组件。在这个设置中，每个头都有自己的旋转查询矩阵 $W_{QR}$ ，但所有头共享一个旋转键矩阵 $W_{KR}$ 。如果对共享的 $W_{KR}$ 应用多次缩放，结果将是不可取的。
MuonClip 的策略：为了妥善处理，MuonClip 只对每个头特有的旋转查询 $W_{QR}$ 乘以各自的缩放因子 $\gamma_H$ ，而保持共享的旋转键矩阵 $W_{KR}$ 不变。

实验结果表明，应用 MuonClip 后，最大注意力 Logits 能够被有效限制并迅速稳定下来，极大地增强了优化器维持稳定可靠训练的能力。

深度分析与洞察

Muon 优化器的出现，不仅仅是对 AdamW 的简单迭代，它代表了深度学习优化领域的一个深刻趋势转变：即从通用、低效的向量空间更新转向高效、结构感知的矩阵空间更新。

1. 几何认知的觉醒：从代数到几何优化

Adam 优化器处理参数的方式本质上是代数的——将其视为一长串需要独立调整的数字。Muon 则体现了几何认知的觉醒。它承认神经网络中的权重和动量矩阵代表着空间中的线性变换，因此具备内在的结构（如正交性、秩）。动量正交化通过放大低秩结构中被忽视的“稀有方向”，实际上是在优化权重矩阵的几何形状，确保参数空间中的更新更加均衡和全面，避免了训练过程被少数极端方向所主导。这种对参数结构的高级抽象和处理，是未来优化器研究的重要方向。

2. 工程与算法的完美平衡：牛顿-施尔茨的实用性

Muon 的设计体现了理论完美性与工程实用性之间的精妙平衡。虽然 SVD 在数学上是实现正交化的理想工具，但其计算开销巨大，无法用于大规模训练。牛顿-施尔茨迭代（通过 R 多项式）提供了一种仅依赖矩阵乘法的高效数值近似方法。这表明，在 AI 基础设施高度依赖 GPU 并行计算的今天，优化创新必须找到“GPU友好”的路径。Muon 成功地将复杂的矩阵几何操作，转化为高度并行且高效的乘法运算，从而在不牺牲理论有效性的前提下，实现了计算效率提升近一倍的工程目标。

3. 架构与优化器的协同进化

大模型训练的稳定性问题（注意力 Logits 爆炸）以及 MuonClip 的设计揭示了一个重要事实：优化器不再是独立于模型架构的通用工具。MuonClip 不仅解决了 Logits 爆炸的问题，更通过专门针对 MLA、RoPE 和解耦 RoPE 等复杂架构组件进行精确定标，证明了先进的优化技术必须与前沿的模型结构（如低秩压缩、位置编码）紧密结合。这种协同进化意味着未来的 AI 训练研究将更加整体化，优化器、注意力机制、位置编码等技术将作为一个整体系统被设计和优化。

总结与展望

Muon 优化器凭借其对参数矩阵结构的深入理解和创新的正交化策略，在大模型训练效率和稳定性方面设立了新的标准。它通过牛顿-施尔茨迭代，实现了对动量矩阵的高效正交化，确保了训练更新的全面性，同时通过 MuonClip 技术有效地抑制了注意力 Logits 爆炸，保证了大规模训练的可靠性。

Muon 优化器的成功预示着 AI 优化器领域将迎来一场变革，更加关注数据和参数的内在结构，并寻求计算效率和理论优雅的完美结合。

展望：随着模型规模持续扩大，我们是否会看到更多的“结构感知型”优化器涌现，它们将如何利用张量分解、群论等更深层次的数学结构，来进一步突破现有训练效率的瓶颈？

要点摘要 (Key Takeaways)

效率优势：Muon 优化器比 AdamW 计算效率高约一倍，同时显著减少了内存占用。
核心机制：Muon 通过对动量矩阵进行正交化来解决向量型优化器导致的低秩动量问题。
实现方式：Muon 采用牛顿-施尔茨迭代和 R 多项式矩阵函数，实现了对奇异值分解（SVD）的高效近似，避免了昂贵的计算开销。
稳定性增强：MuonClip 技术解决了大模型训练中的注意力 Logits 爆炸危机。
MLA 定制：MuonClip 专门为多头潜在注意力 (MLA) 和 解耦 RoPE 架构设计了精确定标策略，尤其是处理共享旋转键矩阵 $W_{KR}$ 的方式，确保了训练的稳定。