多重组合问题与矩阵配额问题

多重组合问题

  实际生活中，一定会遇到多重组合问题。多重组合就是把$n$个元素分配到大小为$k_1,k_{,}\cdots ,k_m$的集合中。符号定义如下:
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_{,}\cdots ,k_m}\right)=\frac{n!}{({\prod }_{i=1}^m{k}_i!)(n-{\sum }_{i=1}^m{k}_i)!}$$
符号用的还是组合的符号，上面代表总数$n),下面是拆分的数量。举个例子，把6个不同的小球，拿出5个，放到两个盒子里，第一个盒子放2个，第二个盒子放3，最后一个小球留着，其实相当于最后1个小球放入了第三个盒子。按公式计算就有60种情况：
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2,3}\right)=\frac{6!}{2!3!(6-2-3)!}=\frac{6!}{2!3!}=60$$
那么为什么是这个公式呢？拆解一下，$n$中取$k_1$,那么就是：
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1}\right)=\frac{n!}{k_1!(n-k_1)!}$$
剩余$n-k_1$中取$k_2$个则是:
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k_1}{k_2}\right)=\frac{(n-k_1)!}{k_2!(n-k_1-k_2)!}$$
于是，整个过程就是：
$$\begin{gathered} \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_{,}\cdots ,k_m}\right) \\ =\frac{n!}{k_1!\cancel{(n-k_1)!}}\frac{\cancel{(n-k_1)!}}{k_2!\cancel{(n-k_1-k_2)!}}\cdots \frac{\cancel{(n-k_1-k_2-\cdots -k_{m-1})!}}{k_m!(n-k_1-k_2-\cdots -k_m)!} \\ =\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!(n-k_1-k_2-\cdots -k_m)!} \\ =\frac{n!}{({\prod }_{i=1}^m{k}_i!)(n-{\sum }_{i=1}^m{k}_i)!} \end{gathered}$$
公式里有个剩余项很烦，所以实际上假想出一个篮子，把最后的剩余项都放入这个篮子里。那么公式就可以简化为：
$$\text{当}\sum _{i=1}^m{k}_i=n\text{时},\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_{,}\cdots ,k_m}\right)=\frac{n!}{{\prod }_{i=1}^m{k}_i!}$$

矩阵配额问题

  上述问题是$n$个不同的小球，那么n个相同的小球，染成多种颜色呢，再放入m个盒子里呢？换句话说，$m$种颜色的小球，同颜色小球无差别，总数为$x$,数量分别为$k_1,k_2,\dots ,k_m$,放入$n$个盒子里，每个盒子分别放$l_1,l_2,\cdots ,l_n$个小球，也就是${\sum }_i^m{k}_i={\sum }_i^n{l}_i=x,$有多少种放法？
太抽象就得用例子来说，6个小球，3个红色，3个黑色，放入3个盒子，A盒放1个，B盒放2个，C盒放3个。其中一种方法，我们得到一个矩阵:
$$\begin{array}{cccc}Color/Box& A& B& C\\ R& 0& 1& 2\\ B& 1& 1& 1\end{array}$$
列向量为每个盒子的分配法，行向量为每种颜色的分配情况，上面的例子是A盒放1个黑球，B盒放1黑1红，C盒放2红1黑。问题就变成了求配额矩阵的数量。这个问题就需要用生成函数法，或者动态规范法来解决了。