【动态规划】二维的背包问题、似包非包、卡特兰数

📝前言说明：

• 本专栏主要记录本人的动态规划算法学习以及LeetCode刷题记录，按专题划分
• 每题主要记录：（1）本人解法 + 本人屎山代码；（2）优质解法 + 优质代码；（3）精益求精，更好的解法和独特的思想（如果有的话）
• 文章中的理解仅为个人理解。如有错误，感谢纠错

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两个数组dp问题（一）	两个数组的dp问题（二）
01背包问题	完全背包
二维的背包问题	其他

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474. 一和零

题目链接：https://leetcode.cn/problems/ones-and-zeroes/description/

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优质解

思路：

• 二维费用的背包问题：要满足两个条件的背包问题
• 状态表示：dp[i][j][k]：从前 i 个字符串里面选，0 的个数不超过 j ， 1 的个数不超过 k 的子集的所有选法中，字符串最多的个数
• 状态表示：区分 选 or 不选 第 i 个字符
• 初始化：当 i == 0，dp的值都为 0
• 填表顺序：i 从小到大
• 返回值：dp[len][m][n]，len为字符串长度

代码：

class Solution {
public:int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {int len = strs.size();vector<vector<vector<int>>> dp(len + 1, vector<vector<int>>(m + 1, vector<int>(n + 1, 0)));for(int i = 1; i <= len; i++){int a = 0, b = 0;for(auto ch: strs[i - 1]){if(ch == '0') a++;else if(ch == '1') b++;}for(int j = 0; j <= m; j++){for(int k = 0; k <= n; k++){dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k];if(j >= a && k >= b)dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i - 1][j - a][k - b] + 1);}}}return dp[len][m][n];}
};

时间复杂度：O(len × m × n)
空间复杂度：O(len × m × n)

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879. 盈利计划

题目链接：https://leetcode.cn/problems/profitable-schemes/description/

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优质解

思路：

• TODO（还没做）

代码：

class Solution {
public:int profitableSchemes(int n, int m, vector<int>& g, vector<int>& p){const int MOD = 1e9 + 7; // 注意结果取模int len = g.size();vector<vector<vector<int>>> dp(len + 1, vector<vector<int>>(n + 1, vector<int>(m + 1)));for(int j = 0; j <= n; j++) dp[0][j][0] = 1; // 初始化for(int i = 1; i <= len; i++)for(int j = 0; j <= n; j++)for(int k = 0; k <= m; k++){dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k];if(j >= g[i - 1])dp[i][j][k] += dp[i - 1][j - g[i - 1]][max(0, k - p[i - 1])];dp[i][j][k] %= MOD; // 注意结果取模}return dp[len][n][m];}
};

时间复杂度：
空间复杂度：

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377. 组合总和 Ⅳ（似包非包）

题目链接：https://leetcode.cn/problems/combination-sum-iv/description/

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优质解

思路：

• TODO （还没做）

代码：

class Solution
{
public:int combinationSum4(vector<int>& nums, int target){vector<double> dp(target + 1);dp[0] = 1;for(int i = 1; i <= target; i++)for(auto x : nums)if(x <= i) dp[i] += dp[i - x];return dp[target];}
};

时间复杂度：
空间复杂度：

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96. 不同的二叉搜索树（卡特兰数）

题目链接：https://leetcode.cn/problems/unique-binary-search-trees/description/

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优质解

思路：

• TODO（还没做）

代码：

class Solution
{
public:int numTrees(int n){vector<int> dp(n + 1, 0); // dp[i] 表示: 当结点的数量为 i 个的时候，一共有多少颗 BSTdp[0] = 1; // 空树也是一颗二叉搜索树for (int i = 1; i <= n; i++) // 枚举结点的总数for (int j = 1; j <= i; j++)  // 选择每一个根节点dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; // 二叉树总量累加在一起return dp[n];}
};

时间复杂度：
空间复杂度：

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