信息学奥赛一本通 1625：【例 1】反素数 Antiprime | 洛谷 P1463 [POI 2001 R1 / HAOI2007] 反素数

【题目链接】

ybt 1625：【例 1】反素数 Antiprime
洛谷 P1463 [POI 2001 R1 / HAOI2007] 反素数

【题目考点】

1. 算术基本定理（分解质因数）

每个正整数$x$都可以进行质因数分解，写成公式为$x=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}...p_n^{a_n}$，其中$p_1\sim p_n$都为$x$的质因数。
$x$的约数个数为$(a_1+1)(a_2+1)...(a_n+1)$

2. 深搜回溯

【解题思路】

如果某个正整数 $x$ 满足：$\forall 0<i<x$，都有 $g(x)>g(i)$，则称 $x$ 为反素数
也就是说，如果x是反素数，那么x就是1~x中约数数量最多的数，且1~x-1中任何一个数的约数个数不能等于x的约数个数。
本题要想求1~n中的最大反素数，该反素数必须是1~n中约数数量最多的数。在约数数量最多的各数中，其中的最小的数为1~n中的最大反素数。

因为如果选择x，且有$y<x，g(x)=g(y)$，那么x就不满足$\forall 0<i<x$，都有 $g(x)>g(i)$

设1~n中的最大反素数为$m$。对$m$分解质因数得$m=p_1^{a_1}...p_r^{a_r}$
设$p_i$表示第i个质数。即$p_1=2,p_2=3,p_3=5,...$

引理1：序列$a_1,a_2,...,a_r$是不升序列，即$a_i\ge a_{i+1}$

该引理可以描述为：1~n中的最大反素数为$m$，在$m=p_1^{a_1}...p_r^{a_r}$中，如果$i<j$，则$a_i\ge a_j$

反证法：假设$i<j$时，$a_i<a_j$
$m$中包含乘积$p_i^{a_i}{p}_j^{a_j}$，可以记为$m=v\cdot p_i^{a_i}{p}_j^{a_j}$
$m$的约数个数包含乘积$(a_i+1)(a_j+1)$，$m$的约数个数可以记为$u\cdot (a_i+1)(a_j+1)$
交换$p_i$和$p_j$的指数，将$p_i$的指数变为$a_j$，$p_j$的指数变为$a_i$。
得到的新的数为$m^{\prime }=v\cdot p_i^{a_j}{p}_j^{a_i}$，$m^{\prime }$的约数个数仍为$u\cdot (a_i+1)(a_j+1)$
由于$j>i$，所以$p_j>p_i$，因此$p_j^{a_j-a_i}>p_i^{a_j-a_i}$，即$\frac{p_j^{a_j}}{p_j^{a_i}}>\frac{p_i^{a_j}}{p_i^{a_i}}$
所以$p_j^{a_j}{p}_i^{a_i}>p_i^{a_j}{p}_j^{a_i}$
所以$m>m^{\prime }$。
因此$m^{\prime }$是约数个数与$m$相等的，数值更小的数。这与$m$是反素数相矛盾。
因此对反素数$m$分解质因数后，其质因数的指数序列是不升序列。

根据上述性质，$m$的质因数只能是前几个连续的质数，一旦有一个质数的指数为0，后面的质数指数就都必须为0。
已知$n\le 2\ast 10^9$，假设每个质数的指数都为1，最多可能用到的质数只有前9个质数。

$2\ast 3\ast 5\ast 7\ast 11\ast 13\ast 17\ast 19\ast 23=223092870<2\ast 10^9$
$2\ast 3\ast 5\ast 7\ast 11\ast 13\ast 17\ast 19\ast 23\ast 29=6469693230>2\ast 10^9$

设prime数组保存前9个质数。
需要确定的只有9个质因数的指数，可以使用深搜回溯算法。
搜索确定每个质因数的指数，下一个质因数的指数必须小于等于上一个质因数的指数，维护状态包括：当前已经确定的数值（质因数幂的乘积），以及当前数值的约数个数。
假设已经确定的数值$s=p_1^{a_1}...p_{k-1}^{a_{k-1}}$，该数值的约数个数为$divNum=(a_1+1)(a_2+1)...(a_{k-1}+1)$当前本次搜索要确定$a_k$的值，$a_k$的值必须小于等于$a_{k-1}$，确定$a_k$的值后，已经确定的数值为$p_1^{a_1}...p_{k-1}^{a_{k-1}}{p}_k^{a_k}$，比已有数值$s$多乘上了$p_k^{a_k}$，；约数个数为$(a_1+1)(a_2+1)...(a_k+1)$，比已有数值$divNum$多乘上了$(a_k+1)$。
如果得到的数值大于n，或已经访问完前9个质数，则结束搜索。

保存“最大的约数个数maxDivNum”以及“最小的约数个数最多的数值minPro”。

• 如果当前数值s的约数个数divNum大于最大的约数个数maxDivNum，那么最大的约数个数maxDivNum就是当前的divNum，约数个数最多的数值minPro为s。
• 如果当前数值s的约数个数divNum等于最大的约数个数maxDivNum，而且当前的数值s比已有的约数个数最多的数值minPro更小，那么将最小的约数个数最多的数值minPro设为s。

最后结果为最小的约数个数最多的数值minPro。

【题解代码】

解法1：深搜回溯

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, minPro = 2e9, maxDivNum;
int prime[15] = {0, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23};
//k：prime的下标，mxInd：上一个质因数的指数，s：数值， divNum：约数个数 
void dfs(int k, int mxInd, int s, int divNum)
{if(divNum > maxDivNum || divNum == maxDivNum && s < minPro){minPro = s;//最小的满足条件的反素数数值 maxDivNum = divNum;//minPro的约数个数 }if(k > 9)return;long long pro = 1;//prime[k]^ifor(int i = 1; i <= mxInd; ++i){pro *= prime[k];if(s*pro > n)break;dfs(k+1, i, s*pro, divNum*(i+1));}
}
int main()
{cin >> n;dfs(1, 30, 1, 1);cout << minPro;return 0;
}