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LeetCode 421 - 数组中两个数的最大异或值

news 2025/11/12 4:57:24

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文章目录

- 摘要
- 描述
- 题解答案
- 题解代码分析
- - 代码逐步解析
  - - ① TrieNode 定义
    - ② 插入数字到 Trie
    - ③ 查找最大异或结果
    - ④ 遍历所有数字求最大值
- 示例测试及结果
- 时间复杂度
- 空间复杂度
- 总结

摘要

这题的名字叫「数组中两个数的最大异或值」，看起来像是个普通的数学题，
但实际上这是个经典的位运算 + 前缀树优化问题。

直观暴力法就是两两异或一遍再取最大值，
但那样是 O(n²) 的复杂度，数组长度一大直接炸掉。

而高效做法是用「Trie（前缀树）」按二进制位去存每个数，
然后每次在树里找一个最能让当前数异或结果更大的路径，
最后就能在 O(32n) 的复杂度内解决问题。

本文我们会用 Swift 实现一个完整的解法，并带上运行示例与实战分析。

描述

题目要求：

给定一个整数数组 nums，返回数组中任意两个数 nums[i] XOR nums[j] 的最大值。

其中异或运算（^）的规则是：

相同为 0，不同为 1。

举个例子
5 (0101) 和 25 (11001) 的异或是：

0101
11001
-----
11100 (28)

结果就是 28。

所以题目等价于：

找到一对数字，它们在二进制每个位上尽量不同。

题解答案

这题有两种常见思路

暴力法
两层循环，枚举所有 (i, j) 组合，取最大 nums[i] ^ nums[j]。
复杂度 O(n²)，当 n = 2×10⁵ 时，完全不可行。

字典树法（Trie）

把每个数字的二进制表示插入到一棵二叉 Trie 树中（0/1 分支）；
对每个数，从高位到低位尝试在 Trie 中找「相反位」；
这样就能最大化异或结果。

我们选择第二种方法，效率高又优雅。

题解代码分析

下面是完整的 Swift 版本（可以直接在 Xcode Playground 运行）

import Foundationclass TrieNode {var children: [Int: TrieNode] = [:]
}class Solution {func findMaximumXOR(_ nums: [Int]) -> Int {let root = TrieNode()// 将数字插入Triefunc insert(_ num: Int) {var node = rootfor i in stride(from: 31, through: 0, by: -1) {let bit = (num >> i) & 1if node.children[bit] == nil {node.children[bit] = TrieNode()}node = node.children[bit]!}}// 查找最大异或func query(_ num: Int) -> Int {var node = rootvar xorValue = 0for i in stride(from: 31, through: 0, by: -1) {let bit = (num >> i) & 1// 想异或最大，就尽量找相反位let toggledBit = 1 - bitif let next = node.children[toggledBit] {xorValue |= (1 << i)node = next} else if let next = node.children[bit] {node = next}}return xorValue}// 主流程var maxXor = 0for num in nums {insert(num)}for num in nums {maxXor = max(maxXor, query(num))}return maxXor}
}

代码逐步解析

① TrieNode 定义

class TrieNode {var children: [Int: TrieNode] = [:]
}

每个节点最多有两个分支：

children[0] 表示当前位是 0
children[1] 表示当前位是 1

② 插入数字到 Trie

for i in stride(from: 31, through: 0, by: -1) {let bit = (num >> i) & 1...
}

我们把每个数的 32 位二进制从高到低依次插入，
确保 Trie 里保留所有数字的二进制路径。

举例：插入 5 (000...0101) 时：

root└─0└─0...└─1└─0└─1

③ 查找最大异或结果

let toggledBit = 1 - bit
if let next = node.children[toggledBit] {xorValue |= (1 << i)node = next
}

遍历当前数字时，

如果能走相反的分支（1-bit），就走那边（这样该位异或能得到 1）；
否则只能走相同的分支。

这就是让异或值尽量变大的贪心策略。

④ 遍历所有数字求最大值

for num in nums {maxXor = max(maxXor, query(num))
}

对每个数字都查一遍，找到能和它异或最大的结果。

示例测试及结果

我们来跑几个示例

let solution = Solution()
print(solution.findMaximumXOR([3,10,5,25,2,8]))     // 输出: 28
print(solution.findMaximumXOR([14,70,53,83,49,91,36,80,92,51,66,70])) // 输出: 127
print(solution.findMaximumXOR([0]))                 // 输出: 0
print(solution.findMaximumXOR([2,4]))               // 输出: 6