线代强化NO4|行列式的计算

数值型

1. 定义
   n 阶行列式的定义：阵中所有取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和。它的数学表达式：
   $$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\sum _{i_1,i_2,\cdots ,i_n}(-1{)}^{\tau (i_1,i_2,\cdots ,i_n)}{a}_{1i_1}{a}_{2i_2}\cdots a_{n{i}_n}$$

• 注：可推出低阶行列式计算公式

1. 二阶行列式
   $$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$$

2. 三阶行列式
   $$\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|=a_1{b}_2{c}_3+a_2{b}_3{c}_1+a_3{b}_1{c}_2-a_3{b}_2{c}_1-a_2{b}_1{c}_3-a_1{b}_3{c}_2$$
   展开定理：行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其代数余子式乘积之和，即
   $$|A|=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\cdots +a_{in}{A}_{in}=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+\cdots +a_{nj}{A}_{nj}(i=j=1,2,\cdots ,n)$$
   【注】为了充分简化计算，一般要求所展开的行或列仅有一到两个非零元，所以运用展开定理的关键在于展开之前的准备工作，要先借助行列式的性质 “化零”。

3. 非降阶性质

4. 降阶性质

5. 公式：

   1. 上、下三角行列式
      $$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}$$

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1,n-1}& a_{1n}\\ a_{21}& \cdots & a_{2,n-1}& 0\\ ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{n1}& \cdots & 0& 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}0& \cdots & 0& a_{1n}\\ 0& \cdots & a_{2,n-1}& a_{2n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{n,n-1}& a_{nn}\end{array}\right|=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}_{1n}{a}_{2,n-1}\cdots a_{n1}$$

利用基本性质将行列式化为上、下三角行列式是计算数值型行列式的一种重要的方法。

2. 范德蒙
   $$\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ a_1& a_2& a_3& \cdots & a_n\\ a_1^2& a_2^2& a_3^2& \cdots & a_n^2\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_1^{n-1}& a_2^{n-1}& a_3^{n-1}& \cdots & a_n^{n-1}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccc}1& a_1& a_1^2& \cdots & a_1^{n-1}\\ 1& a_2& a_2^2& \cdots & a_2^{n-1}\\ 1& a_3& a_3^2& \cdots & a_3^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& a_n& a_n^2& \cdots & a_n^{n-1}\end{array}\right|=\prod _{\begin{array}{c}1\le i<j\le n\end{array}}(a_j-a_i)$$
   3. 拉普拉斯：$|AB|=|A||B|$

抽象型

假设 A,B 分别为 n 阶和 m 阶方阵，则：

1. $|\mathbf{A}|=|{\mathbf{A}}^T|$
2. $|k\mathbf{A}|=k^n|\mathbf{A}|$
3. 当 m = n 时，$|\mathbf{AB}|=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|=|\mathbf{BA}|$
4. 当 A 可逆时，$|{\mathbf{A}}^{-1}|=|\mathbf{A}{|}^{-1}$
5. $|{\mathbf{A}}^{\ast }|=|\mathbf{A}{|}^{n-1}$
6. $|{\mathbf{A}}^k|=|\mathbf{A}{|}^k$
7. $$\left|\begin{array}{cc}\mathbf{A}& 0\\ 0& \mathbf{B}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{C}\\ 0& \mathbf{B}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\mathbf{A}& 0\\ \mathbf{C}& \mathbf{B}\end{array}\right|=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|$$
8. $$\left|\begin{array}{cc}0& \mathbf{B}\\ \mathbf{A}& 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\mathbf{C}& \mathbf{B}\\ \mathbf{A}& 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}0& \mathbf{B}\\ \mathbf{A}& \mathbf{C}\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}|\mathbf{A}||\mathbf{B}|$$
9. 假设矩阵 A 的特征值为${\lambda }_1，\dots ，{\lambda }_n$，则有$|\mathbf{A}|={\prod }_{i=1}^n{\lambda }_i$
   

• 解：
  $$\left|\begin{array}{cccc}{a}_1& 0& 0& b_1\\ b_4& 0& 0& a_4\\ 0& b_3& a_3& 0\\ 0& a_2& b_2& 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_1& b_1& 0& 0\\ b_4& a_4& 0& 0\\ 0& 0& a_3& b_3\\ 0& 0& b_2& a_2\end{array}\right|=(a_1{a}_4-b_1{b}_4)(a_3{a}_2-b_2{b}_3)$$
  选D

• 拓：
  $$\left|\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 1& 2& 3\\ 3& 1& 0& 1\end{array}\right|$$
  不含有二阶零块，无法用拉普拉斯展开。

• 改：
  $$\left|\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 2& 3\\ 1& 0& 0& 2\\ 1& 2& 1& 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 2& 3\\ 0& 1& 2& 3\\ 1& 2& 1& 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 1& 2& 0& 0\\ 0& 3& 2& 1\\ 1& 1& 1& 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=1\times 3=3$$
  【小结】

• 二阶零子块：矩阵的某个二阶子式的所有元素均为 0；

• 若四阶行列式含有二阶零子块，则可以利用性质 2 化成
  $$\left|\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{C}\\ \mathbf{O}& \mathbf{B}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ \mathbf{C}& \mathbf{B}\end{array}\right|=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|$$
  

• 法1
  特殊值法。从考试规律来看，$\mid B+A\mid$一定为一个常数，故${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$的取值对$\mid B+A\mid$不影响。可对${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$​采用特殊值法令A=E，即
  $$|B+A|=\left|\begin{array}{c}{\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_1+2{\alpha }_2+4{\alpha }_3,{\alpha }_1+3{\alpha }_2+9{\alpha }_3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 4& 9\end{array}\right|=(2-1)(3-1)(3-2)=2$$

• 法2
  $$|B+A|=\left|\begin{array}{c}{\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_1+2{\alpha }_2+4{\alpha }_3,{\alpha }_1+3{\alpha }_2+9{\alpha }_3\end{array}\right|$$
  $$=\left|({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 4& 9\end{array}\right)\right|=|{\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3|\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 4& 9\end{array}\right|=1\cdot 2=2$$
  【小结】如果矩阵是按列分块的，计算其行列式的第一种基本思路就是利用行列式性质对行列式做列变换，将行列式化简，第二种思路是利用矩阵按列分块的矩阵的运算法则：
  $$[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n]\left[\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\\ ⋮\\ k_n\end{array}\right]=k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_n{\alpha }_n$$
  ，对该公式要从正反两方面来掌握，一方面，对公式本身的运用要熟练；另一方面，当我们看到向量组$\alpha {}_1,\alpha {}_2,\cdots ,\alpha {}_n$​的线性组合$k_1\alpha {}_1+k_2\alpha {}_2+\cdots +k_n\alpha {}_n$时，要能够反向运用该公式，将其分解为
  $$[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n]\left[\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\\ ⋮\\ k_n\end{array}\right]$$
  

解：
$$|2A^{\ast }{B}^{-1}|=2^n|A^{\ast }{B}^{-1}|=2^n|A^{\ast }||B^{-1}|=2^n\cdot |A{|}^{n-1}\cdot \frac{1}{|B|}$$
$$=2^n\cdot 2^{n-1}\cdot \frac{1}{-3}=-\frac{2^{2n-1}}{3}$$

$$(-1{)}^{m\cdot n}|A||B|=(-1{)}^{m\cdot n}ab$$

$$|A{A}^T|=|A||A^T|=|A||A|=|A{|}^2=|E|=1⟹|A|=-1$$

$$|A+E|=|A+A{A}^T|=|A(E+A^T)|=|A||E+A^T|=|A||(E+A^T{)}^T|$$

$$=|A||E^T+(A^T{)}^T|=|A||E+A|=-|E+A|$$
故$|A+E|=0$

• 法1：
  由相似矩阵特征值相同，可得B的特征值也为2,3,4,5
  B−E的特征值为1,2,3,4，$\mid B-E\mid =1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$

• 法2：
  A相似于B，B−E相似于A−E， $\mid B-E\mid =\mid A-E\mid =1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$

【小结】行列式计算的三个基本思路：

1. 运用行列式的定义、性质和公式；
2. 结合矩阵的运算及公式；
3. 结合特征值。