线性代数 - 特征值和特征向量可视化是什么样的

线性代数 - 特征值和特征向量可视化是什么样的

flyfish

特征值和特征向量

在线性代数中，假设有一个矩阵 $A$ 表示一个线性变换。对于一个非零向量 $\mathbf{x}$，如果应用这个变换后得到的结果 $A\mathbf{x}$ 与原向量 $\mathbf{x}$ 是平行关系（即只发生缩放，而不改变方向），那么 $\mathbf{x}$ 就称为矩阵 $A$ 的特征向量（eigenvector）。数学上，这满足方程：

$$A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$$

其中，$\lambda$ 是缩放因子，称为对应的特征值（eigenvalue）。特征值可以是正数（表示放大）、负数（表示放大并反转方向）或零（表示向量被映射到零向量）。

在上图中：

向量 ${\mathbf{x}}_1$（蓝色）经过变换 $A$ 后，成为 $A{\mathbf{x}}_1$，但不再与原向量在同一条直线上（方向改变了），所以 ${\mathbf{x}}_1$ 不是特征向量。

向量 ${\mathbf{x}}_2$（红色）经过变换 $A$ 后，成为 $A{\mathbf{x}}_2=\lambda {\mathbf{x}}_2$，仍然在同一条直线上（只发生了缩放），所以 ${\mathbf{x}}_2$ 是特征向量，$\lambda$ 是特征值。

代码实现

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np# 定义矩阵 A
A = np.array([[2, 1], [1, 2]])# 定义向量 x1（非特征向量）和 x2（特征向量）
x1 = np.array([1, 0])  # 蓝色
x2 = np.array([1, 1])  # 红色# 计算变换后的向量
Ax1 = A @ x1
Ax2 = A @ x2# 创建画布和子图
fig, axs = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 5))# 左子图：原始向量 x1 和 x2
axs[0].quiver(0, 0, x2[0], x2[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='red')
axs[0].quiver(0, 0, x1[0], x1[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='cyan')
axs[0].set_xlim(-3, 3)
axs[0].set_ylim(-3, 3)
axs[0].axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
axs[0].axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
# 添加虚线表示 y = x 直线
axs[0].plot([-3, 3], [-3, 3], 'k--', linewidth=1)  # 黑色虚线
axs[0].grid(True)
axs[0].set_aspect('equal')axs[0].text(x2[0]*0.5 + 0.5, x2[1]*0.5 + 0.2, 'x2', color='red', fontsize=12)
axs[0].text(x1[0]*0.5 + 0.5, x1[1]*0.5 + 0.1, 'x1', color='cyan', fontsize=12)# 添加箭头表示变换 A
axs[0].annotate('', xy=(5, 0), xytext=(4.5, 0), arrowprops=dict(facecolor='black', shrink=0.05))
axs[0].text(4.6, 0.1, 'A', fontsize=14)# 右子图：变换后的向量 Ax1 和 Ax2
axs[1].quiver(0, 0, Ax2[0], Ax2[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='red')
axs[1].quiver(0, 0, Ax1[0], Ax1[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='cyan')
axs[1].set_xlim(-3, 3)
axs[1].set_ylim(-3, 3)
axs[1].axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
axs[1].axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
# 添加虚线表示 y = x 直线
axs[1].plot([-3, 3], [-3, 3], 'k--', linewidth=1)  # 黑色虚线
axs[1].grid(True)
axs[1].set_aspect('equal')axs[1].text(Ax2[0]*0.5 + 0.5, Ax2[1]*0.5 + 0.3, 'Ax2', color='red', fontsize=12)
axs[1].text(Ax1[0]*0.5 + 1.1, Ax1[1]*0.5 + 0.3, 'Ax1', color='cyan', fontsize=12)# 保存为 JPG 文件
plt.savefig('eigenvectors_diagram.jpg', dpi=300, bbox_inches='tight')
plt.show()

关于y轴的反射矩阵$A=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$，
y轴方向的向量 $\vec{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ 变换后仍为 $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$（伸缩比例$\lambda =1$）；
x轴方向的向量 $\vec{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ 变换后为 $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right)$（伸缩比例$\lambda =-1$，反向伸缩）。
定义 $A\vec{x}=\lambda \vec{x}$ 就是为了精准捕捉这类“方向不变、仅伸缩”的特殊向量（特征向量$\vec{x}$）和伸缩比例（特征值$\lambda$）。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np# 定义矩阵 A：关于y轴的反射矩阵
A = np.array([[-1, 0], [0, 1]])# 定义向量 x1（x轴方向）和 x2（y轴方向）
x1 = np.array([1, 0])  # 蓝色，特征向量，λ=-1
x2 = np.array([0, 1])  # 红色，特征向量，λ=1# 计算变换后的向量
Ax1 = A @ x1  # [-1, 0]
Ax2 = A @ x2  # [0, 1]# 创建画布和子图
fig, axs = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 5))# 左子图：原始向量 x1 和 x2
axs[0].quiver(0, 0, x1[0], x1[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='cyan')
axs[0].quiver(0, 0, x2[0], x2[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='red')
axs[0].set_xlim(-2, 2)
axs[0].set_ylim(-2, 2)
axs[0].axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
axs[0].axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
# 添加虚线表示 x轴和 y轴（作为参考，直线表示方向不变）
axs[0].plot([-2, 2], [0, 0], 'k--', linewidth=1)  # x轴虚线
axs[0].plot([0, 0], [-2, 2], 'k--', linewidth=1)  # y轴虚线
axs[0].grid(True)
axs[0].set_aspect('equal')axs[0].text(x1[0]*0.5 + 0.1, x1[1]*0.5 + 0.1, 'x1', color='cyan', fontsize=12)
axs[0].text(x2[0]*0.5 + 0.1, x2[1]*0.5 + 0.1, 'x2', color='red', fontsize=12)# 添加箭头表示变换 A
axs[0].annotate('', xy=(5, 0), xytext=(4.5, 0), arrowprops=dict(facecolor='black', shrink=0.05))
axs[0].text(4.6, 0.1, 'A', fontsize=14)# 右子图：变换后的向量 Ax1 和 Ax2
axs[1].quiver(0, 0, Ax1[0], Ax1[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='cyan')
axs[1].quiver(0, 0, Ax2[0], Ax2[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='red')
axs[1].set_xlim(-2, 2)
axs[1].set_ylim(-2, 2)
axs[1].axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
axs[1].axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
# 添加虚线表示 x轴和 y轴
axs[1].plot([-2, 2], [0, 0], 'k--', linewidth=1)  # x轴虚线
axs[1].plot([0, 0], [-2, 2], 'k--', linewidth=1)  # y轴虚线
axs[1].grid(True)
axs[1].set_aspect('equal')axs[1].text(Ax1[0]*0.5 - 0.3, Ax1[1]*0.5 + 0.1, 'Ax1', color='cyan', fontsize=12)  # Ax1 为负方向，调整位置
axs[1].text(Ax2[0]*0.5 + 0.1, Ax2[1]*0.5 + 0.1, 'Ax2', color='red', fontsize=12)# 保存为 JPG 文件
plt.savefig('reflection_matrix_visualization.jpg', dpi=300, bbox_inches='tight')
plt.show()  # 

反射矩阵（也称为镜射矩阵）在线性代数中，是一个表示向量在某个超平面（如直线或平面）上进行镜面反射的线性变换矩阵。这种变换是一种正交变换，保持向量的长度不变，但会翻转其在反射平面上的分量。简单来说，它像一面镜子，将空间的一侧“反射”到另一侧。

假设在二维欧氏空间中，对于一个向量 $\vec{v}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$，反射矩阵 $A$ 满足 $A\vec{v}={\vec{v}}^{\prime }$，其中 ${\vec{v}}^{\prime }$ 是 $\vec{v}$ 关于反射轴的镜像。反射矩阵的通用形式依赖于反射平面。对于标准轴：
关于y轴的反射：$A=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$。例如，点(1, 2)反射后变为(-1, 2)。
关于x轴的反射：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$。点(1, 2)反射后变为(1, -2)。
关于直线y = x的反射：$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$。点(1, 2)反射后变为(2, 1)。