深入浅出蓝桥杯：算法基础概念与实战应用（一）基础算法(上)
蓝桥杯通关秘籍（一）：算法基础篇：基础算法(上)
文章目录
一、模拟
1.1 多项式输出
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代码如下（示例）：
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{int n; cin >> n;// 循环次数for (int i = n; i >= 0; i--){int a; cin >> a;if (a == 0) continue; // 处理系数为 0 的情况// 1. 符号if (a < 0) cout << '-';else{if (i != n) cout << '+';}// 2. 数字a = abs(a);if (a != 1 || (a == 1 && i == 0)) cout << a;// 3. 次数if (i == 0) continue;else if (i == 1) cout << 'x';else cout << "x^" << i;}return 0;
}
1.2 蛇形⽅阵
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代码如下（示例）：
#include<iostream>
using namespace std;int dx[4] = { 0 , 1 , 0 , -1 };
int dy[4] = { 1 , 0 ,-1 , 0 };
const int N = 15;
int arr[N][N];int main()
{int n; cin >> n;int cnt = 1;int pos = 0;int x = 1, y = 1;while (cnt <= n * n){arr[x][y] = cnt;int a = x + dx[pos], b = y + dy[pos];if (a < 1 || a > n || b < 1 || b > n || arr[a][b]){pos = (pos + 1) % 4;a = x + dx[pos], b = y + dy[pos];}x = a, y = b;cnt++;}for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= n; j++){printf("%3d", arr[i][j]);}puts("");}
}
1.3 字符串的展开
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代码如下（示例）：
#include <iostream>
#include<string>
#include <algorithm>
using namespace std;
int p1, p2, p3, n;
string s;
string ret;
// 判断是否是数字字符
bool isdig(char ch)
{return ch >= '0' && ch <= '9';
}
// 判断是否是⼩写字⺟
bool islet(char ch)
{return ch >= 'a' && ch <= 'z';
}
// 把 [left, right] 之间的字符展开
// left, right 这两个字符是不做处理
void add(char left, char right)
{string t;// 遍历中间的字符for (char ch = left + 1; ch < right; ch++){char tmp = ch;// 处理 p1if (p1 == 2 && islet(tmp)) tmp -= 32; // ⼩写变⼤写else if (p1 == 3) tmp = '*'; // 变成星号// 处理 p2for (int i = 0; i < p2; i++){t += tmp;}}// 处理 p3if (p3 == 2) reverse(t.begin(), t.end());ret += t;
}
int main()
{cin >> p1 >> p2 >> p3 >> s;n = s.size();for (int i = 0; i < n; i++){char ch = s[i];if (s[i] != '-' || i == 0 || i == n - 1) ret += ch;else{char left = s[i - 1], right = s[i + 1];// 判断是否展开if (isdig(left) && isdig(right) && right > left ||islet(left) && islet(right) && right > left){// 展开add(left, right);}else{ret += ch;}}}cout << ret << endl;return 0;
}
二、高精度
2.1 ⾼精度加法
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代码如下（示例）：
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int a[N], b[N], c[N];
int la, lb, lc;
// ⾼精度加法的模版 - c = a + b;
void add(int c[], int a[], int b[])
{for (int i = 0; i < lc; i++){c[i] += a[i] + b[i]; // 对应位相加，再加上进位c[i + 1] += c[i] / 10; // 处理进位c[i] %= 10; // 处理余数}if (c[lc]) lc++;
}
int main()
{string x, y; cin >> x >> y;// 1. 拆分每⼀位，逆序放在数组中la = x.size(); lb = y.size(); lc = max(la, lb);for (int i = 0; i < la; i++) a[la - 1 - i] = x[i] - '0';for (int i = 0; i < lb; i++) b[lb - 1 - i] = y[i] - '0';// 2. 模拟加法的过程add(c, a, b); // c = a + b// 输出结果for (int i = lc - 1; i >= 0; i--) cout << c[i];return 0;
}
2.2 ⾼精度减法
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代码如下（示例）：
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int a[N], b[N], c[N];
int la, lb, lc;
// ⽐⼤⼩
bool cmp(string& x, string& y)
{// 先⽐较⻓度if (x.size() != y.size()) return x.size() < y.size();// 再按照 字典序 的⽅式⽐较return x < y;
}
// ⾼精度减法的模板 - c = a - b
void sub(int c[], int a[], int b[])
{for (int i = 0; i < lc; i++){c[i] += a[i] - b[i]; // 对应位相减，然后处理借位if (c[i] < 0){c[i + 1] -= 1; // 借位c[i] += 10;}}// 处理前导零while (lc > 1 && c[lc - 1] == 0) lc--;
}
int main()
{string x, y; cin >> x >> y;// ⽐⼤⼩if (cmp(x, y)){swap(x, y);cout << '-';}// 1. 拆分每⼀位，然后逆序放在数组中la = x.size(); lb = y.size(); lc = max(la, lb);for (int i = 0; i < la; i++) a[la - i - 1] = x[i] - '0';for (int i = 0; i < lb; i++) b[lb - i - 1] = y[i] - '0';// 2. 模拟减法的过程sub(c, a, b); // c = a - b// 输出结果for (int i = lc - 1; i >= 0; i--) cout << c[i];return 0;
}
2.3 ⾼精度乘法
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代码如下（示例）：
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int a[N], b[N], c[N];
int la, lb, lc;
// ⾼精度乘法的模版 - c = a * b
void mul(int c[], int a[], int b[])
{// ⽆进位相乘,然后相加for (int i = 0; i < la; i++){for (int j = 0; j < lb; j++){c[i + j] += a[i] * b[j];}}// 处理进位for (int i = 0; i < lc; i++){c[i + 1] += c[i] / 10;c[i] %= 10;}// 处理前导零while (lc > 1 && c[lc - 1] == 0) lc--;
}
int main()
{string x, y; cin >> x >> y;// 1. 拆分每⼀位，逆序放在数组中la = x.size(); lb = y.size(); lc = la + lb;for (int i = 0; i < la; i++) a[la - 1 - i] = x[i] - '0';for (int i = 0; i < lb; i++) b[lb - 1 - i] = y[i] - '0';// 2. 模拟乘法的过程mul(c, a, b); // c = a * b// 输出结果for (int i = lc - 1; i >= 0; i--) cout << c[i];return 0;
}
2.4 ⾼精度除法
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代码如下（示例）：
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
typedef long long LL;
int a[N], b, c[N];
int la, lc;
// ⾼精度除法的模板 - c = a / b （⾼精度 / 低精度）
void sub(int c[], int a[], int b)
{LL t = 0; // 标记每次除完之后的余数for (int i = la - 1; i >= 0; i--){// 计算当前的被除数t = t * 10 + a[i];c[i] = t / b;t %= b;}// 处理前导 0while (lc > 1 && c[lc - 1] == 0) lc--;
}
int main()
{string x; cin >> x >> b;la = x.size();for (int i = 0; i < la; i++) a[la - 1 - i] = x[i] - '0';// 模拟除法的过程lc = la;sub(c, a, b); // c = a / bfor (int i = lc - 1; i >= 0; i--) cout << c[i];return 0;
}
三、枚举
3.1 普通枚举
3.1.1 铺地毯
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代码如下（示例）：
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e4 + 10;
int n;
int a[N], b[N], g[N], k[N];
int x, y;
int find()
{// 从后往前枚举for (int i = n; i >= 1; i--){// 判断是否覆盖if (a[i] <= x && b[i] <= y && a[i] + g[i] >= x && b[i] + k[i] >= y){return i;}}return -1;
}
int main()
{cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i] >> b[i] >> g[i] >> k[i];cin >> x >> y;cout << find() << endl;return 0;
}
3.1.2 回⽂⽇期
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代码如下（示例）：
#include <iostream>
using namespace std;
int x, y;
int day[] = { 0, 31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31 };
int main()
{cin >> x >> y;int ret = 0;// 枚举⽉⽇的组合for (int i = 1; i <= 12; i++){for (int j = 1; j <= day[i]; j++){int k = j % 10 * 1000 + j / 10 * 100 + i % 10 * 10 + i / 10;int num = k * 10000 + i * 100 + j;if (x <= num && num <= y) ret++;}}cout << ret << endl;return 0;
}
3.1.3 扫雷
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代码如下（示例）：
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e4 + 10;
int n;
int a[N], b[N];
// 不放地雷
int check1()
{a[1] = 0;for (int i = 2; i <= n + 1; i++){a[i] = b[i - 1] - a[i - 1] - a[i - 2];if (a[i] < 0 || a[i] > 1) return 0;}if (a[n + 1] == 0) return 1;else return 0;
}
int check2()
{a[1] = 1;for (int i = 2; i <= n + 1; i++){a[i] = b[i - 1] - a[i - 1] - a[i - 2];if (a[i] < 0 || a[i] > 1) return 0;}if (a[n + 1] == 0) return 1;else return 0;
}
int main()
{cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> b[i];int ret = 0;ret += check1(); // a[1] 不放地雷ret += check2(); // a[1] 放地雷cout << ret << endl;return 0;
}
3.2 ⼆进制枚举
3.2.1 ⼦集
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代码如下（示例）：
class Solution
{
public:vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums){vector<vector<int>> ret;int n = nums.size();// 枚举所有的状态for (int st = 0; st < (1 << n); st++){// 根据 st 的状态，还原出要选的数vector<int> tmp; // 从当前选的⼦集for (int i = 0; i < n; i++){if ((st >> i) & 1) tmp.push_back(nums[i]);}ret.push_back(tmp);}return ret;}
};
3.2.2 费解的开关
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代码如下（示例）：
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 10;
int n = 5;
int a[N]; // ⽤⼆进制表⽰，来存储灯的状态
int t[N]; // 备份 a 数组
// 计算 x 的⼆进制表⽰中⼀共有多少个 1
int calc(int x)
{int cnt = 0;while (x){cnt++;x &= x - 1;}return cnt;
}
int main()
{int T; cin >> T;while (T--){// 多组测试时，⼀定要注意清空之前的数据memset(a, 0, sizeof a);for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < n; j++){char ch; cin >> ch;// 存成相反的if (ch == '0') a[i] |= 1 << j;}}int ret = 0x3f3f3f3f; // 统计所有合法的按法中的最⼩值// 枚举第⼀⾏所有的按法for (int st = 0; st < (1 << n); st++){memcpy(t, a, sizeof a);int push = st; // 当前⾏的按法int cnt = 0; // 统计当前按法下⼀共按了多少次// 依次计算后续⾏的结果以及按法for (int i = 0; i < n; i++){cnt += calc(push);// 修改当前⾏被按的结果t[i] = t[i] ^ push ^ (push << 1) ^ (push >> 1);t[i] &= (1 << n) - 1; // 清空影响// 修改下⼀⾏的状态t[i + 1] ^= push;// 下⼀⾏的按法push = t[i];}if (t[n - 1] == 0) ret = min(ret, cnt);}if (ret > 6) cout << -1 << endl;else cout << ret << endl;}return 0;
}
3.2.3 Even Parity
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代码如下（示例）：
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 20;
int n;
int a[N]; // ⽤⼆进制存储状态
int t[N]; // 备份
// 判断 x->y 是否合法
// 返回 -1，表⽰不合法
// 其余的数，表⽰合法，并且表⽰ 0->1 的次数
int calc(int x, int y)
{int sum = 0;for (int i = 0; i < n; i++){if (((x >> i) & 1) == 0 && ((y >> i) & 1) == 1) sum++;if (((x >> i) & 1) == 1 && ((y >> i) & 1) == 0) return -1;}return sum;
}
int solve()
{int ret = 0x3f3f3f3f; // 记录最⼩的改变次数// 枚举第⼀⾏的最终状态for (int st = 0; st < (1 << n); st++){memcpy(t, a, sizeof a);int change = st;int cnt = 0; // 统计 0->1 的次数bool flag = 1;for (int i = 1; i <= n; i++){// 先判断 change 是否合法int c = calc(t[i], change);if (c == -1){flag = 0;break;}cnt += c; // 累加次数// 当前⾏的最终状态t[i] = change;// 计算下⼀⾏的最终状态change = t[i - 1] ^ (t[i] << 1) ^ (t[i] >> 1);change &= (1 << n) - 1;}if (flag) ret = min(ret, cnt);}if (ret == 0x3f3f3f3f) return -1;else return ret;
}
int main()
{int T; cin >> T;for (int k = 1; k <= T; k++){// 多组测试数据，记得清空memset(a, 0, sizeof a);cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++) // 避免越界访问{for (int j = 0; j < n; j++){int x; cin >> x;if (x) a[i] |= 1 << j;}}printf("Case %d: %d\n", k, solve());}return 0;
}
四、前缀和
4.1 ⼀维前缀和
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代码如下（示例）：
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;
int n, q;
LL a[N];
LL f[N]; // 前缀和数组
int main()
{cin >> n >> q;for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];// 处理前缀和数组for (int i = 1; i <= n; i++){f[i] = f[i - 1] + a[i];}// 处理 q 次询问while (q--){int l, r; cin >> l >> r;cout << f[r] - f[l - 1] << endl;}return 0;
}
4.2 最⼤⼦段和
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代码如下（示例）：
#include<iostream>
using namespace std;
int n, x;
const int N = 2e5 + 10;
int f[N];int main()
{cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++){cin >> x;f[i] = f[i - 1] + x;}int ret = -0x3f3f3f3f;int prevmin = 0;for (int i = 1; i <= n; i++){ret = max(ret, f[i] - prevmin);prevmin = min(prevmin, f[i]);}cout << ret << endl;}
4.3 ⼆维前缀和
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两个公式即可！
代码如下（示例）：
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1010;
int n, m, q;
LL f[N][N];
int main()
{cin >> n >> m >> q;// 预处理前缀和矩阵for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= m; j++){LL x; cin >> x;f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1] - f[i - 1][j - 1] + x;}}// 处理 q 次查询while (q--){int x1, y1, x2, y2; cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;cout << f[x2][y2] - f[x1 - 1][y2] - f[x2][y1 - 1] + f[x1 - 1][y1 - 1]<< endl;}return 0;
}
4.4 激光炸弹
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代码如下（示例）：
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 5010;
int n, m;
int a[N][N];
int f[N][N]; // 前缀和矩阵
int main()
{cin >> n >> m;while (n--){int x, y, v; cin >> x >> y >> v;x++, y++; // 下标从 1 开始计数a[x][y] += v; // 同⼀个位置有可能有多个⽬标}n = 5001;// 预处理前缀和矩阵for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= n; j++){f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1] - f[i - 1][j - 1] + a[i][j];}}int ret = 0;m = min(m, n); // 如果 m 很⼤，相当于就是把整个区域全部摧毁// 枚举所有边⻓为 m 的正⽅形for (int x2 = m; x2 <= n; x2++){for (int y2 = m; y2 <= n; y2++){int x1 = x2 - m + 1, y1 = y2 - m + 1;ret = max(ret, f[x2][y2] - f[x1 - 1][y2] - f[x2][y1 - 1] + f[x1 -1][y1 - 1]);}}cout << ret << endl;return 0;
}
五、差分
5.1 ⼀维差分
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代码如下（示例）：
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;
int n, m;
LL f[N]; // 差分数组
int main()
{cin >> n >> m;// 利⽤差分数组的性质，创建差分数组for (int i = 1; i <= n; i++){LL x; cin >> x;f[i] += x;f[i + 1] -= x;}// 处理 m 次修改操作while (m--){LL l, r, k; cin >> l >> r >> k;f[l] += k; f[r + 1] -= k;}// 还原出原始的数组for (int i = 1; i <= n; i++){f[i] = f[i - 1] + f[i];cout << f[i] << " ";}return 0;
}
5.2 海底⾼铁
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代码如下（示例）：
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;
int n, m;
LL f[N]; // 差分数组
int main()
{cin >> n >> m;// x->yint x; cin >> x;for (int i = 2; i <= m; i++){int y; cin >> y;// x -> yif (x > y){f[y]++;f[x]--;}else{f[x]++;f[y]--;}x = y;}// 利⽤差分数组，还原出原数组for (int i = 1; i <= n; i++) f[i] += f[i - 1];// 直接求结果LL ret = 0;for (int i = 1; i < n; i++){LL a, b, c; cin >> a >> b >> c;ret += min(a * f[i], c + b * f[i]);}cout << ret << endl;return 0;
}
5.3 ⼆维差分
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代码如下（示例）：
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1010;
int n, m, q;
LL f[N][N]; // 差分矩阵
// 差分矩阵的性质
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, LL k)
{f[x1][y1] += k; f[x1][y2 + 1] -= k; f[x2 + 1][y1] -= k; f[x2 + 1][y2 + 1]+= k;
}
int main()
{cin >> n >> m >> q;// 预处理差分矩阵for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= m; j++){LL x; cin >> x;// [i, j]为左上⻆，[i, j]为右下⻆的矩阵，统⼀加上 xinsert(i, j, i, j, x);}}// 处理 q 次修改操作while (q--){LL x1, y1, x2, y2, k; cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> k;insert(x1, y1, x2, y2, k);}// 利⽤前缀和还原出修改之后的数组for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= m; j++){f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1] - f[i - 1][j - 1] + f[i][j];cout << f[i][j] << " ";}cout << endl;}return 0;
}
5.4 地毯
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代码如下（示例）：
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int f[N][N]; // 差分矩阵
// 差分数组的性质
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int k)
{f[x1][y1] += k; f[x1][y2 + 1] -= k; f[x2 + 1][y1] -= k; f[x2 + 1][y2 + 1]+= k;
}
int main()
{cin >> n >> m;// 构建差分数组while (m--){int x1, y1, x2, y2; cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;insert(x1, y1, x2, y2, 1);}// 利⽤前缀和还原修改之后的数组for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= n; j++){f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1] - f[i - 1][j - 1] + f[i][j];cout << f[i][j] << " ";}cout << endl;}return 0;
}
六、双指针
6.1 唯⼀的雪花
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滑动窗口 + 哈希表！
代码如下（示例）：
#include <iostream>
#include <unordered_map>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int n;
int a[N];
int main()
{int T; cin >> T;while (T--){cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];// 初始化int left = 1, right = 1, ret = 0;unordered_map<int, int> mp; // 维护窗⼝内所有元素出现的次数while (right <= n){// 进窗⼝mp[a[right]]++;// 判断while (mp[a[right]] > 1){// 出窗⼝mp[a[left]]--;left++;}// 窗⼝合法，更新结果ret = max(ret, right - left + 1);right++;}cout << ret << endl;}return 0;
}
6.2 逛画展
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代码如下（示例）：
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10, M = 2e3 + 10;
int n, m;
int a[N];
int kind; // 窗⼝内有效元素的个数
int mp[N]; // 统计窗⼝内每个元素出现的次数
int main()
{cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];int left = 1, right = 1;int ret = n, begin = 1;while (right <= n){// 进窗⼝if (mp[a[right]]++ == 0) kind++;// 判断while (kind == m){// 更新结果int len = right - left + 1;if (len < ret){ret = len;begin = left;}// 出窗⼝if (mp[a[left]]-- == 1) kind--;left++;}right++;}cout << begin << " " << begin + ret - 1 << endl;return 0;
}
6.3 字符串
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代码如下（示例）：
#include <iostream>
using namespace std;
string s;
int mp[26]; // 统计每个⼩写字符出现的次数
int kind; // 窗⼝内⼩写字符的种类
int main()
{cin >> s;int n = s.size();int ret = n;// 初始化for (int left = 0, right = 0; right < n; right++){// 进窗⼝if (mp[s[right] - 'a']++ == 0) kind++;// 判断while (kind == 26){// 更新结果ret = min(ret, right - left + 1);// 出窗⼝if (mp[s[left] - 'a']-- == 1) kind--;left++;}}cout << ret << endl;return 0;
}
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代码如下（示例）：