线代强化NO3|线性方程组|特征值和特征向量|矩阵的相似性|实对称矩阵|二次型

线性方程组

解的判定

• 概念
  • 线性方程组、齐次、非齐次、导出组
  • 表现形式：
    1. 矩阵（系数矩阵，增广矩阵）
    2. 向量（线性表示）
  • 研究对象：解的判定（无解，唯一，无穷多解），解的结构（唯一，无穷多）
• 判定方法
  • 核心定理：
    1. 无解等价于 $r(A)<r(A\mid \beta )$
    2. 唯一解，$r(A)=r(A\mid \beta )=n$
    3. 无穷多解，$r(A)=r(A\mid B)<n$
  • 等价说法：
    1. $AX=b$ 有解等价于 b 属于 A 的列向量线性表示
    2. $AX=b$ 有无穷多解等价于 $AX=0$ 有非零解
    3. $Am\times n$，当$m<n$时$AX=0$有非零解
• 方阵判定
  • 克拉默法则
  • 注：
    1. 优点：能用行列式求解，当n很大时，可用计算机
    2. 缺点：对于非齐次而言，|A|=0 时，区分不出无解还是无穷多解
    3. 对于齐次$AX=0$来讲，缺点被掩盖

齐次解的结构

• 解的性质
  1. 任意解的线性组合仍为方程的解
  2. 是 + 不是 = 不是
• 基础解系
  • 概念：解空间的极大线性无关组
  • 定理：$r(J)=n-r(A)$
• 计算步骤：
  1. 利用初等行变换将增广矩阵化为最简阶梯形矩阵
  2. 找到主元列，剩余的未知量为自由量
  3. 对自由量赋值（E）
  4. 代入齐次线性方程组求解

非齐次解的结构

• 解的性质：形影相随，本质是对常数列的运算；
• 通解：齐次通+非齐特
• 计算步骤：在求非齐次特解时，令自由量为零，代入非齐次方程组求解

特征值和特征向量

概念

• 内容：特征值、特征向量、特征多项式
• 注
  1. 特征向量一定是非零
  2. 计算
  3. 宏观：n 阶矩阵有 n 个特征值（可实可虚），每个特征值有无穷多个特征向量

计算

• 公式：$|A-\lambda E|=0$ 求特征值，$(A-\lambda E)X=0$ 求特征向量
• 方法：
  1. 高效方法：转圈（6对，选倍数不是分数，而且最小）
  2. 躺平方法：化出一个零，然后按该行（列）展开
  3. 万能方法：用定义（6项的和）

性质

• 特征向量
  1. 同一特征值：任意的非零线性组合仍为该特征值的特征向量
  2. 不同特征值：线性组合一定不是特征向量
• 特征值
  1. $f(A)$的特征值为 $f(\lambda )$
  2. $f(A)=0$ 则 $f(\lambda )=0$
  3. 和为 $tr(A)$，积为$|A|$
• 二者关系
  • 内容：λ 的重数大于等于 λ的无关的特征向量个数，等于 $(A-\lambda E)x=0$的基础解系的秩，等于 $r(J)=n-r(A-\lambda E)$
  • 结论
    1. $r(A)=1$ 则 A 的特征值全为 $0(n-1)$ 重，$tr(A)$
    2. A的特征向量的快速求法
       1. 0 的特征向量只需看第一行
       2. $tr(A)$ 的特征向量只需看第一列

矩阵的相似性

相似

• 概念
  • $A=P^{-1}BP$，则称 A 与 B 相似，记作 A ~B
  • 注：
    1. 同阶 n 阶方阵
    2. 反身性，A~A
    3. 对 P 无要求，只要两侧矩阵互逆即可
    4. 对称性，若 A~B，则 B~A
    5. 传递性，若 A_B，BC，则 A~C
    6. 相似与等价的异同
       1. 同：二元关系、同型、反身、对称、传递
       2. 异
          1. 等阶可以是非方阵，相似只能为方阵
          2. 等价的充要条件是秩相等，相似没有充要条件
• 性质

  • 右肩膀

    • 内容
      1. $A\sim B⟹A^T\sim B^T$
      2. $A\sim B⟹A^{-1}\sim B^{-1}$
      3. $A\sim B⟹f(A)\sim f(B)$
      4. $A\sim B⟹A^{\ast }\sim B^{\ast }$
    • 注
      1. 广义化，A~B 推出$f(A^T)=f(B^T)$
      2. 幂和伴随都是相似推
      3. $f(A)$和$f(B)$ 为一次多项式，可以反推
      4. A 和 B 二阶可逆，$A^{\ast }\sim B^{\ast }$推出 A~B

  • 必要条件

    • 内容：秩、特征值、迹、行列式$r(f(A))=r(f(B))$
    • 注
      1. 必要非充分
      2. 用的多的是特征值相同
      3. 选择题中，用来判不相似，排除法
      4. 解答题中，用来求参数

相似对角化

• 概念：相似于一个对角阵
• 判定
  • 定理 1（充要）：A 有 n 个线性无关的特征向量等价于 A 可以相似对角化
  • 推论 1（充分）：A 有 n 个不同的特征值可推出 A 可以相似对角化
  • 定理 2（充要）：λ 的无关特征向量个数 =λ 的重数
  • 推论 2（充要）：$n-r(A-\lambda E)=\lambda$ 的重数
• 计算步骤
  1. 求特征值作为 λ
  2. 求特征向量作为 P
  3. 顺序对应

实对称矩阵

特性性质

$$\begin{array}{cc}\text{实对称矩阵}& \text{一般矩阵}\\ \text{特征值只能为实}& \text{可实可虚}\\ \text{不同特征值的特征向量相互正交}& \text{不同特征值的特征向量线性无关}\\ \text{必可相似对角化}& \text{不一定}\end{array}$$

1. A 的特征值为实数（一般矩阵的特征值可实可虚）
2. 不同特征值的特征向量不仅无关，而且正交
3. A 必可相似对角化

计算步骤

• 1. 求特征值作为Λ
• 2. 求特征向量作为P
• 3. 施密特正交化：将特征向量正交化单位化
• 4. 按照对应顺序摆放即可

二者区别

• 联系：均由特征值与特征向量构成
• 区别
  1. 只有实对称矩阵才可正交相似对角化
  2. 用正交单位向量组

二次型

• 概念
  • 二次型及其矩阵、齐二次多项式、二次型的秩
• 合同标准形
  • 合同变换
    1. 非退化的线性变换，x=cy（可逆）
    2. 二次型的合同关系
    3. 矩阵的合同关系，$C^{T}AC=B$，A与B合同
    4. 性质：反身、对称、传递，转置、逆、幂
  • 合同标准形
    • 概念：合同于一个标准形
    • 正交变换法：相当于对实对称矩阵的正交相似对角化
    • 配方法：有方配方，无方配凑
• 惯性指数与惯性定理
  • 惯性指数：标准形中，正负特征值个数
  • 惯性定理：合同变换保持正负惯性指数
• 合同规范形
  • 概念：标准形中，系数只有 1，-1，0
  • 充要条件：
    • 正负惯性指数相同等于二次型合同
    • 合同规范形相同
    • 正负特征值个数相同
• 正定
  • 概念：实对称，$X^{T}AX>0(X\ne 0)$，则称二次型为正定二次型
  • 判定
    • 1. 定义
    • 2. 正惯性指数为 n
    • 3. 特征值全大于零
    • 4. 合同规范形为 E
    • 5. 存在可逆矩阵 P，使$A=P^{T}P$
    • 6. 顺序主子式全大于零
    • 注：1，3，6 用的较多