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1049. 最后一块石头的重量 II

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

• 如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
• 如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。

最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。

示例 1：

输入：stones = [2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。

示例 2：

输入：stones = [31,26,33,21,40]
输出：5

提示：

• 1 <= stones.length <= 30
• 1 <= stones[i] <= 100

class Solution {
public:int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {vector<int> dp(150001,0);int sum = 0;for(int i=0;i<stones.size();i++){sum+=stones[i];}int target = sum/2;for(int i = 0;i<stones.size();i++){for(int j = target;j>=stones[i];j--){dp[j] = max(dp[j],dp[j-stones[i]]+stones[i]);}}return sum-dp[target]-dp[target];}
};

解题思路：

问题背景

问题描述：有一堆石头，每次从中挑选两块石头碰撞，碰撞后会得到一块新石头（重量为两块石头的差值），直到只剩下一块石头或没有石头。求最后可能剩下的最小石头重量。

核心思路转化

这个问题可以转化为：

• 将石头分成两堆，使两堆的重量尽可能接近
• 两堆重量的差值就是最后可能剩下的最小重量

这是因为每次碰撞相当于从总重量中减去 twice of 较小的那块石头的重量，最优策略是让两堆石头重量尽可能接近。

代码原理详解

1. 动态规划数组定义：
   dp[j]表示能从石头中选出若干块，使得它们的总重量最大为j

2. 计算目标值：
   sum是所有石头的总重量
   target是sum/2，我们尝试找到不超过这个值的最大子集和

3. 0-1 背包问题求解：

   • 外层循环遍历每块石头（物品）
   • 内层循环从target往当前石头重量遍历（0-1 背包的典型做法，避免重复使用同一物品）
   • dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i])表示对于重量j，要么不选当前石头保持dp[j]，要么选当前石头得到dp[j - stones[i]] + stones[i]

4. 计算结果：
   sum - dp[target] - dp[target]表示总重量减去两倍的最大子集和（即两堆石头的重量差）

这个解法的时间复杂度是 O (n×target)，空间复杂度是 O (target)，其中 n 是石头数量，target 是总重量的一半。

494. 目标和

class Solution {
public:int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {int sum = 0;for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案int bagSize = (target + sum) / 2;vector<int> dp(bagSize + 1, 0);dp[0] = 1;for(int i=0;i<nums.size();i++){for(int j = bagSize;j>=nums[i];j--){dp[j] += dp[j-nums[i]];}}return dp[bagSize];}
};

给每个数字添加+或-，本质上是将数组分成两组：

• 一组数字前面加+（和为left）
• 另一组数字前面加-（和为right）

根据题意，我们有：

plaintext

left - right = target  // 表达式结果等于target
left + right = sum     // 所有数字的总和

将两式相加可得：2*left = target + sum，即 left = (target + sum) / 2

因此问题转化为：找到有多少种方法可以从数组中选出一些数字，使它们的和等于 left

代码解析

1. 边界条件判断：

   if (abs(target) > sum) return 0; // 目标值的绝对值大于总和，不可能实现
   if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; // 和为奇数，无法被2整除，没有方案
   

2. 计算背包大小：

   int bagSize = (target + sum) / 2;
   

    

   这里的bagSize就是我们要找的left值，即需要选出和为bagSize的数字组合

3. 动态规划初始化：

    

   vector<int> dp(bagSize + 1, 0);
   dp[0] = 1; // 表示凑出和为0的方法有1种（什么都不选）
   

    

   dp[j]的含义是：有多少种方法可以选出和为 j 的数字组合

4. 填充 DP 数组：

    

   for (int i = 0; i < nums.size(); i++) { // 遍历每个数字for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) { // 倒序遍历背包dp[j] += dp[j - nums[i]];}
   }
   

    
   • 对于每个数字，我们可以选择 "放入背包"（即该数字前面加+）或 "不放入背包"（即该数字前面加-）
   • 状态转移方程dp[j] += dp[j - nums[i]]表示：凑出和为 j 的方法数 = 不选当前数字的方法数 + 选当前数字的方法数（此时需要加上凑出 j-nums [i] 的方法数）
   • 倒序遍历是为了保证每个数字只被使用一次（0-1 背包特性）

5. 返回结果：

   return dp[bagSize];
   

    

   dp[bagSize]就是能凑出和为bagSize的方法总数，也就是我们要求的答案

示例说明

以nums = [1,1,1,1,1]，target = 3为例：

• 总和sum = 5
• bagSize = (3 + 5) / 2 = 4
• 问题转化为：有多少种方法从数组中选出和为 4 的数字
• 答案是 5 种，对应 5 种不同的表达式

474. 一和零

class Solution {
public:int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {vector<vector<int>> result(m+1,vector<int> (n+1,0));for(string str:strs){int onenumber = 0,zeronumber = 0;for (char c : str) {if (c == '0') zeronumber++;else onenumber++;}for(int i=m;i>=zeronumber;i--){for(int j=n;j>=onenumber;j--){result[i][j] = max(result[i][j],result[i-zeronumber][j-onenumber]+1);}}}return result[m][n];}};

问题理解

给定一组二进制字符串，每个字符串包含0和1。我们需要选择一些字符串，使得：

• 所有选中字符串中0的总数不超过 m

• 所有选中字符串中1的总数不超过 n

• 选中的字符串数量尽可能多

动态规划思路

1. 状态定义

dp[i][j] 表示：使用最多 i 个0和 j 个1时，能够组成的最大字符串数量

2. 状态转移

对于每个字符串，我们有两种选择：

• 不选这个字符串：dp[i][j] 保持不变

• 选这个字符串：dp[i][j] = dp[i - zeros][j - ones] + 1

状态转移方程：

cpp

dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeros][j - ones] + 1);

3. 为什么从后往前遍历？

这是0-1背包问题的核心技巧：

• 从后往前遍历：确保每个字符串只被使用一次（避免重复选择）

• 如果从前往后遍历，会变成完全背包问题（每个物品可以选多次）

4. 具体步骤

1. 初始化：创建 (m+1) × (n+1) 的二维数组，初始值为0

2. 遍历每个字符串：

   • 计算当前字符串的0和1的数量

   • 从 m 到 zeros，从 n 到 ones 反向更新dp表

3. 返回结果：dp[m][n] 就是最大数量

示例说明

假设 strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3

对于字符串 "10"：

• zeros = 1, ones = 1

• 更新所有 i >= 1 且 j >= 1 的位置

对于字符串 "0001"：

• zeros = 3, ones = 1

• 更新所有 i >= 3 且 j >= 1 的位置

以此类推...

时间复杂度

• 外层循环：O(S)，S为字符串数量

• 内层循环：O(M × N)

• 总复杂度：O(S × M × N)

空间复杂度

• O(M × N)，即dp表的大小

这种解法巧妙地利用了动态规划和背包问题的思想，通过反向遍历确保每个字符串只被考虑一次，从而找到最优解。