当前位置：首页 > news >正文

三维空间平面方程

news 2025/11/9 11:02:02

在三维空间中，平面方程用于描述所有位于同一平面上的点的集合。平面方程的常见形式及其推导和性质如下：

1. 一般式（General Form）

方程形式：
[ Ax + By + Cz + D = 0 ]
其中，( A, B, C ) 不同时为零，且 ( (A, B, C) ) 是平面的法向量（垂直于平面的向量）。

推导：
平面由法向量 ( \mathbf{n} = (A, B, C) ) 和平面上一点 ( P_0(x_0, y_0, z_0) ) 确定。对于平面上任意一点 ( P(x, y, z) )，向量 ( \overrightarrow{P_0P} = (x - x_0, y - y_0, z - z_0) ) 与法向量垂直，因此点积为零：
[ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 ]
展开后得到一般式：
[ Ax + By + Cz - (Ax_0 + By_0 + Cz_0) = 0 ]
令 ( D = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0) )，即得一般式。

性质：

法向量 ( \mathbf{n} = (A, B, C) ) 决定了平面的方向。
平面到原点的距离为 ( \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} )（需确保法向量已归一化）。

2. 点法式（Point-Normal Form）

方程形式：
[ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 ]
直接由法向量 ( \mathbf{n} = (A, B, C) ) 和平面上一点 ( P_0(x_0, y_0, z_0) ) 推导而来。

应用：
已知法向量和一点时，可直接写出方程。例如，法向量 ( (1, 2, 3) ) 过点 ( (1, 1, 1) ) 的平面方程为：
[ 1(x - 1) + 2(y - 1) + 3(z - 1) = 0 ]
化简为一般式：
[ x + 2y + 3z - 6 = 0 ]

3. 截距式（Intercept Form）

方程形式：
[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 ]
其中，( a, b, c ) 分别是平面在 ( x, y, z ) 轴上的截距（即平面与坐标轴的交点坐标）。

推导：
平面与 ( x ) 轴交于 ( (a, 0, 0) )，与 ( y ) 轴交于 ( (0, b, 0) )，与 ( z ) 轴交于 ( (0, 0, c) )。通过这三点可确定平面方程。例如，代入一般式：
[ Aa + D = 0 \Rightarrow A = -\frac{D}{a} ]
同理 ( B = -\frac{D}{b} )，( C = -\frac{D}{c} )。代入一般式并约去 ( D )（( D \neq 0 )）得截距式。

应用：
已知截距时直接使用。例如，截距为 ( (2, 3, 4) ) 的平面方程为：
[ \frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1 ]
化为一般式：
[ 6x + 4y + 3z - 12 = 0 ]

4. 参数式（Parametric Form）

方程形式：
通过平面上的两个方向向量 ( \mathbf{v}_1 = (u_1, v_1, w_1) ) 和 ( \mathbf{v}_2 = (u_2, v_2, w_2) )，以及平面上一点 ( P_0(x_0, y_0, z_0) )，平面上的任意点 ( P(x, y, z) ) 可表示为：
[
\begin{cases}
x = x_0 + s u_1 + t u_2 \
y = y_0 + s v_1 + t v_2 \
z = z_0 + s w_1 + t w_2
\end{cases}
]
其中 ( s, t ) 为参数。

应用：
适用于已知平面上的两个方向向量和一点的情况。例如，方向向量 ( (1, 0, 1) ) 和 ( (0, 1, 1) )，过点 ( (0, 0, 0) ) 的平面参数方程为：
[
\begin{cases}
x = s \
y = t \
z = s + t
\end{cases}
]
消去参数 ( s, t ) 可得一般式：
[ x - y + z = 0 ]

5. 特殊情况

垂直于坐标轴的平面：
- 垂直于 ( x ) 轴：( x = k )（法向量 ( (1, 0, 0) )）。
- 垂直于 ( y ) 轴：( y = k )（法向量 ( (0, 1, 0) )）。
- 垂直于 ( z ) 轴：( z = k )（法向量 ( (0, 0, 1) )）。
平行于坐标平面的平面：
- 平行于 ( xy )-平面：( z = k )。
- 平行于 ( xz )-平面：( y = k )。
- 平行于 ( yz )-平面：( x = k )。