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第一步：极限的基本概念

1. 数列的极限
   • 定义：数列是按顺序排列的一串数（如U₁, U₂, U₃…），通项Uₙ表示第n项（如Uₙ=1/(n+1)）。

• 收敛与发散：当n无限增大时，若Uₙ无限接近某常数A，称数列收敛于A（如1/n收敛于0）；若无法接近任何常数，则数列发散（如2ⁿ无限增大）。

• 符号：记作limₙ→∞ Uₙ = A。

2. 函数的极限
   • 定义：当x趋近于某点x₀或无穷时，若函数f(x)无限接近常数A，称f(x)的极限为A。

• 趋近方式：

• 双侧趋近：x→x₀（默认左右两侧同时趋近）。

• 单侧趋近：x→x₀⁺（右侧）、x→x₀⁻（左侧）。

• 无穷趋近：x→+∞或x→-∞。

• 符号：limₓ→x₀ f(x) = A。

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第二步：极限存在的条件
充要条件：
• 双侧极限存在：当且仅当左极限（x→x₀⁻）和右极限（x→x₀⁺）均存在且相等时，极限存在。

• 举例：分段函数f(x)在x=0处，左极限为-1，右极限为1，因不等，故极限不存在。

反例与发散：
• 发散情况：若函数值无限增大（如x→+∞时2ⁿ）或振荡（如sin(1/x)在x→0时），极限不存在。

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第三步：底层逻辑——为什么需要极限？

1. 数学意义：
   • 解决“无限接近”问题：描述变量在趋近某目标时（如n→∞或x→x₀）的趋势，而非终点的确切值。

   • 微积分的基础：导数（斜率）和积分（面积）均依赖极限定义。

2. 核心思想：
   • 逼近思维：通过考察“越来越接近”的过程，而非终点本身，规避直接计算不可达点（如无穷、分母为零）。

   • 统一离散与连续：数列（离散）与函数（连续）的极限统一定义，便于分析统一规律。

3. 左右极限的意义：
   • 验证稳定性：函数在某点可能左右行为不同（如分段函数），需分别考察趋近方向是否一致。

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第四步：总结
• 极限就像“望山跑死马”：

你骑马奔向一座山（目标点x₀或无穷远），虽然永远到不了山脚，但能明确感觉到山的位置（极限值A）。如果无论从左边还是右边跑，看到的山都是同一个位置，那这座山的位置就是极限。如果左边看到是山A，右边是山B，或者山越来越高，那就说不清极限在哪了。

• 收敛 vs 发散：

• 收敛：数列或函数值像GPS导航一样，稳定接近某个固定地址（如1/n越来越接近0）。

• 发散：要么像脱缰野马一路狂奔（如2ⁿ无限大），要么像迷路兜圈子（如sin(nπ)在-1和1间跳变）。