线代强化NO1|行列式及矩阵

行列式

概念

• 排列与逆序
  • 内容：n 级排列，逆序，奇排列，偶排列；
  • 注：
    1. 常见的排列逆序数；
    2. 交换两个数改变逆序的奇偶性；
    3. 顺序数 + 逆序数$=C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$
• 行列式
  • 内容：不同行不同列元素乘积的代数和
  • 注：
    1. 本质：数
    2. 公式（二阶，三阶，上下三角，斜上下三角）；
    3. 某一个行 (列) 全为零，行列式为零
• 余子式与代数余子式
  • 内容：划掉第 i 行和第 j 列的行列式称为余子式，代数余子式$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$
  • 注：
    1. 本质：是个行列式（数）
    2. 与元素内容无关，只与元素位置有关
  • $M_{ij}=(-1{)}^{i+j}{A}_{ij}$
  • 推导：$(-1{)}^{i+j}{A}_{ij}=(-1{)}^{i+j}(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}=((-1{)}^2{)}^{i+j}{M}_{ij}$

性质

• 非降阶性质
  • 性质 1：行列互换，行列式的值不变
  • 注：
    1. 行和列具有相同的地位，对行成立对列也成立
    2. 用到抽象型行列式中
  • 性质 2：两行（列）互换，行列式变号
  • 推论 1：两行（列）相等，行列式为零
  • 性质 3：某行乘以 k，行列式乘以 k（k可为0）
  • 注：
    1. 与矩阵数乘的区别与联系
    2. 矩阵初等行变换的区别与联系
  • 推论 2：两行对应成比例，行列式为零
  • 注：
    1. 推论2=推论1+性质3
  • 性质 4：按某一行拆分成两个行列式的和
  • 推论 3：某行的 k 值加到另外一行，行列式不变
• 降阶性质
  • 1：某行元素乘以自己的代数余子式之和为行列式的值
  • 2：某行元素乘以以别的行的代数余子式之和为零

计算

• 低阶（4阶及以下）
  • 概念：二阶；3阶含字母且含0
  • 性质：
    1. 非降阶性质：性质 2（互换），性质3（数乘），推论 3（倍加）；
    2. 降阶性质：
       1. 内容：某行元素乘以自己的代数余子式
       2. 步骤：找 1，化零，展开
  • 公式：
    1. 四个公式（2阶，2阶，上下三角，斜上下三角）
    2. 范德蒙
       1. 识别：首行为1，每列等比 $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 4& 9\end{array}\right|=(2-1)(3-1)(3-2)=2$
       2. 公式
       3. 2种变形
          1. 破坏首行为1： $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 4& 9\\ 1& 8& 27\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 1& 2& 9\\ 1& 4& 27\end{array}\right|=2\cdot 3\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 4& 9\end{array}\right|=6\cdot 2=12$
             1. 首列是 1，但每行不是等比；每列是等比，但首行不是 1
          2. 破坏等比数列：
             $$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 3& x\\ 1& 4& 9& x^2\\ 1& 8& 27& x^3\end{array}\right|=1\cdot (-1{)}^{1+4}\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 4& 9\\ 1& 8& 27\end{array}\right|+x\cdot (-1{)}^{2+4}\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 4& 9\\ 1& 8& 27\end{array}\right|+x^2\cdot (-1{)}^{3+4}\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 8& 27\end{array}\right|+x^3\cdot (-1{)}^{4+4}\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 4& 9\end{array}\right|$$
             又
             $$\begin{gathered} \left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 3& x\\ 1& 4& 9& x^2\\ 1& 8& 27& x^3\end{array}\right|=(2-1)(3-1)(x-1)(3-2)(x-2)(x-3) \\ =(x-1)(x-2)(x-3)\cdot 2 \\ =x^3-12x^2+\cdots \end{gathered}$$
             则
             $$-\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 8& 27\end{array}\right|=-12$$
• 高阶
  • 三线型：
    1. 平斜竖型（爪形）：斜爪消平爪
    2. 两斜一平：按平展开；
    3. 三斜形：按照一头一尾建立递推式
  • 对角线型：
    1. 定义：通过改变对角线元素的值使其成为每行元素对应成比例的行列式
    2. 计算：利用推论 3 （倍加）化为爪形

矩阵

概念

• 数表，m 行 n 列，实矩阵，方阵，同型，相等
• 注：
  1. 三个视角（m 行 n 列，m 个 1 行 n 列，n 个 m 行 1 列）；
  2. 矩阵与行列式的三个区别：
     1. 本质不同；
     2. 形式不同；
     3. 蕴含信息不同。

常见矩阵

• 非方阵：零矩阵，阶梯型矩阵，简单阶梯型
• 方阵：对角，数量，单位，上（下）三角，对称，反对称，正交
• 注：
  1. 严格单调递增；
  2. 单位包含于数量 包含于对角；
  3. 反对称矩阵对角线全为零

运算及运算规则

• 运算
  • 内容：加法与数乘，乘法，转置
  • 注：
    1. 矩阵数乘和行列式数乘的区别与联系（区别、联系）
    2. 乘法：
       1. 区分左乘和右乘，
       2. 左乘和右乘 E 矩阵不变，
       3. 两个非零矩阵相乘可能为零矩阵，
       4. 快速乘法
    3. 转置，3条
    4. 公式，
       1. $A^n$的两个公式
          1. 各行成比例
          2. 对角线元素相等的上（下）三角
• 运算规则
  • 加法与数乘，转置，（穿脱律）
  • 乘法
    1. 成立：内容（交换律，消去律）
    2. 不成立：
       • 注：
         1. 两个改变（左乘和右乘，常用公式不再成立）；
         2. 满足交换律四种情况

分块矩阵

• 内容：
  1. 分成四块；
  2. 按列分块，按行分块
• 注：
  1. 整体：把每一个子块看作一个数；
  2. 微观：小的子块也得能乘

方阵的行列式

1. 三个公式
   $$\begin{array}{rl}|A^T|& =|A|,|kA|=k^n|A|\\ |AB|& =|A||B|\end{array}$$
2. 拉普拉斯展开定理

$$\begin{array}{rl}\left|\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right|& =\left|\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& 0\\ C& B\end{array}\right|=|A||B|\\ \left|\begin{array}{cc}0& A\\ B& 0\end{array}\right|& =\left|\begin{array}{cc}0& A\\ B& C\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}C& A\\ B& 0\end{array}\right|=(-1{)}^{m\cdot n}|A||B|\end{array}$$

逆矩阵

概念

• 内容：若 A,B 均为 n 阶方阵，且 AB=E，则称 A 可逆
• 推论：若 A 为n阶方阵，且 AB=E，则 BA=E
• 注：
  1. 方阵专属，类似：行列式，对角，数量，单位，上（下）三角，对称，反对称，正交，伴随，初等，特征值，相似，合同，正定
  2. 逆是双向（转置，倒数，相反数）
  3. 插队原理
     $$\begin{array}{rl}ABCD& =E\\ ABCD{D}^{-1}& =E{D}^{-1}\\ ABC& =D^{-1}\\ DABC& =D{D}^{-1}=E\end{array}$$

性质

• 1. 唯一性（证明方法，意义，判定正确）
• 2. 自反性$(A^{-1}{)}^{-1}=A$
• 3. 穿脱律$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1},(A_1{A}_2\cdots A_n{)}^{-1}=A_n^{-1}{A}_{n-1}^{-1}\cdots A_1^{-1}$
• 4. 数乘$(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}(k\ne 0)$
• 5. 行列式$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$
• 6. 分块矩阵${\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& 0\\ 0& B^{-1}\end{array}\right)，{\left(\begin{array}{cc}0& A\\ B& 0\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& B^{-1}\\ A^{-1}& 0\end{array}\right)$

可逆的充要条件

• 伴随

  • 定义：每行元素的代数余子式放在列的位置
  • 注：
    1. 存在性（方阵）；
    2. 独特性；
    3. 四个符号（n，T，-1，*）；
    4. 二阶矩阵伴随：主对调，副变号

• 性质

  • 内容：$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$
    1. 关键；
    2. 得出可逆的充要条件的关键
  • 意义：可逆的充要条件 $|A|\ne 0⟺A\text{ 可逆}$

• 计算

  • 伴随矩阵：二阶$A^{-1}=\frac{A^{\ast }}{|A|}$
  • 利用初等行变换：$(A\mid E)\stackrel{\text{初等行变换}}{\to }(E\mid A^{-1})$

初等矩阵

概念

• 矩阵的三种初等变换
  • 内容：
    1. 交换矩阵的两行；
    2. 某一行乘以非零数 k；
    3. 某行的 k 倍加到另外一行
  • 注：
    • 区别：
      1. 行列式用等号，矩阵用箭头；
      2. 行列式的 k 可能为零，矩阵 k 不能为零
    • 联系：矩阵初等变换不改变行列式的零性
• 初等矩阵
  • 分类：对E做一次初等变换
    1. 一类
    2. 二类
    3. 三类
  • 性质：
    1. 转置；
    2. 行列式；
    3. 逆矩阵；
    4. 幂矩阵（当 n=1 时，可联想记忆逆矩阵）
  • 重要定理：左行右列
  • 注：初等矩阵与初等变换建立联系
• 矩阵等价
  • 内容：A 通过有限次初等列变换化为 B
  • 充要条件：$A\text{ 与 }B\text{ 等价}⟺r(A)=r(B)$
• 矩阵与符号
  • 符号内部

$$\begin{array}{ccccc}& \text{行列式}& \text{数乘}& \text{自反性}& \text{穿脱律}\\ T& |A^T|=|A|& (kA{)}^T=k{A}^T& (A^T{)}^T=A& (AB{)}^T=B^T{A}^T\\ -1& |A^{-1}|=\frac{1}{|A|}& (kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}& (A^{-1}{)}^{-1}=A& (AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}\\ \ast & |A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}& (kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }& (A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A& (AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}A{A}^{\ast }& =|A|E\\ A^{\ast }(A^{\ast }{)}^{\ast }& =|A^{\ast }|E=|A{|}^{n-1}E\\ (A^{\ast }{)}^{\ast }& =|A{|}^{n-1}\cdot (A^{\ast }{)}^{-1}\\ & =|A{|}^{n-1}\cdot \frac{A}{|A|}=|A{|}^{n-2}A\end{array}$$

• 符号之间：两两可交换位置