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蓝桥杯备考：倍增算法详解

news 来源：原创 2025/6/10 7:48:29

如果我们想暴力求解的话，我们的时间复杂度是O（N）b最大是10的9次方，这时候我们一定会超时

#include <iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;
LL a,b,p;LL ret = 1;
int main()
{
	cin >> a >> b >> p;
	for(int i = 1;i<=b;i++)
	{
	   ret = (ret*a)%p;	
	}
	printf("%lld^%lld mod %lld=%lld",a,b,p,ret);
	
	
	
	
	return 0;
}

这时候我们就要用快速幂的思想来优化我们的算法了

那如果我们求的幂不在这些倍增的序列里面，该怎么办才好呢？

这时候我们就要结合一下二进制了

比如a的11次方也就是a的(1011)2 次方实际上就等于a（1*2的三次方+0*2的二次方+1*2的一次方+1*2的零次方）也就是

好的，时间复杂度解决了，为了防止溢出，我们的取模是随时的

我们讲解一下取模的性质吧

性质1：如果只有加法和乘法：取模可以再任何时候取模(a*b*c*d)%p 等价于 a%p*b%p*c%p*d%p

性质2：如果是减法为了避免负数，我们可以模加模也就是((a-b)%p+p)%p

性质3；如果有除法：当计算过程中存在除法的时候，我们取模是会出现错误的，这时候我们需要求个逆元，我们数论章节会讲解的

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL a,b,p;

LL quickcal(LL a,LL b, LL p)
{
	LL ret = 1;
	while(b)
	{
		if(b&1) ret=ret*a%p;
		a=a*a%p;
		
		b>>=1;
	}
	return ret;
}
int main()
{
	cin >> a >> b >> p;
	
	printf("%lld^%lld mod %lld=%lld\n",a,b,p,quickcal(a,b,p));
	
	
	
	
	
	
	return 0;
}