深圳网站设计联系电话广告公司海报用的易拉
目录
图（Graph）的诞生——我们为什么要发明“图”？
定义图（Graph）的核心元素
图的分类——丰富图的表达能力
无向图 (Undirected Graph) vs. 有向图 (Directed Graph)
无权图 (Unweighted Graph) vs. 带权图 (Weighted Graph)
描述图的常用术语
关于顶点的术语：度 (Degree)
关于顶点序列的术语：路径 (Path) 和 环 (Cycle)
关于图整体的术语：连通性 (Connectivity)
简单 C/C++ 代码框架的思考
第一步：定义顶点 (Vertex)
第二步：定义边 (Edge)
第三步：组合成图 (Graph)
总结一下今天的内容
图（Graph）的诞生——我们为什么要发明“图”？
在开始学习任何新知识之前，最重要的问题是：“我们为什么需要它？它解决了什么问题？”
想象一下，我们生活中有各种各样的“事物”，这些“事物”之间也存在着千丝万缕的“关系”。
-
事物: 一个人、一个城市、一个网页、一个路口、一个任务...
-
关系: 朋友关系、城市间的航线、网页间的链接、路口间的道路、任务间的依赖关系...
我们的大脑很擅长处理这些关系，但计算机不擅长。计算机只擅长处理数字和结构化的数据。
如果我们想让计算机解决类似“从北京到上海的最短路线”或者“在朋友圈里，我和马化腾之间隔了几个人”这样的问题，我们就必须找到一种方法，把这些“事物”和“关系”翻译成计算机能理解的语言。
所有这些问题的本质，都可以抽象为两个核心元素：
-
点 (Point/Node)：用来代表那些独立的“事物”。
-
线 (Line/Link)：用来代表事物之间的“关系”。
把“点”和“线”组合在一起，就构成了一个可以描述万物关系的通用模型。这个模型，就是我们今天要讲的 图 (Graph)。
所以，图的本质就是：一种用来描述“多对多”（many-to-many）关系的数据结构。
定义图（Graph）的核心元素
现在我们正式定义图。一个图 G (Graph) 由两个基本集合组成：
-
顶点集合 V (Vertex Set): 包含了所有“事物”的集合。我们把里面的每一个元素叫做 顶点 (Vertex)。
-
边集合 E (Edge Set): 包含了所有“关系”的集合。我们把里面的每一个元素叫做 边 (Edge)。
所以，一个图可以表示为 G = (V, E)。
我们来看一个具体的例子。假设我们有四个城市：北京、上海、广州、武汉。
-
顶点集合 V 就是这四个城市：
V = {北京, 上海, 广州, 武汉}。 -
假设它们之间有航班线路，这些线路就是“关系”。比如：
-
北京和上海之间有航班
-
北京和广州之间有航班
-
上海和广州之间有航班
-
广州和武汉之间有航班
-
那么 边集合 E 就是这些航班线路：
E = {(北京, 上海), (北京, 广州), (上海, 广州), (广州, 武汉)}。
这里的 (北京, 上海) 就表示一条连接北京和上海的边。
现在，我们把这个定义画出来，你就有了对图的第一个直观印象。
图1️⃣：一个简单的城市交通图
(北京) --------- (上海)| /| /| /(广州) --------- (武汉)在这个图里：
-
圆圈圈起来的城市名就是 顶点 (Vertex)。
-
连接两个顶点的线段就是 边 (Edge)。
图的分类——丰富图的表达能力
上面的图很简单，但现实世界的关系更复杂。比如：
-
朋友关系是双向的：我是你的朋友，你也是我的朋友。
-
关注关系是单向的：我关注了你，但你未必关注我。
-
城市间的道路有长有短，距离不同。
为了描述这些更复杂的关系，我们需要对图进行分类。
无向图 (Undirected Graph) vs. 有向图 (Directed Graph)
关系的“方向性”是一个核心区别。朋友关系没有方向，而关注关系有方向。
无向图 (Undirected Graph)
-
定义：图中的边没有方向。边
(u, v)和边(v, u)表示的是同一条边。 -
适用场景：描述相互、对等的关系。例如：朋友关系、城市间的双向铁路。
-
图示：我们上面画的 图1 就是一个典型的无向图。连接北京和上海的线，你既可以看作从北京到上海，也可以看作从上海到北京。
有向图 (Directed Graph / Digraph)
-
定义：图中的边有明确的方向。从顶点
u指向顶点v的边，我们称之为一条 弧 (Arc)，记作<u, v>。这里u称为 弧尾 (Tail)，v称为 弧头 (Head)。<u, v>和<v, u>是两条完全不同的弧。 -
适用场景：描述单向的关系。例如：社交网络中的“关注”、网页间的超链接、任务的依赖（必须先完成A才能做B）。
图2️⃣：一个简单的社交关注图
假设：A关注了B，B关注了C，C关注了D，D关注了A。
-
V = {A, B, C, D}
-
E = {<A, B>, <B, C>, <C, D>, <D, A>}
画出来就是这个样子：
(A) --------> (B)^ || || v(D) <-------- (C)注意图中的 箭头，它明确地指出了关系的方向。
无权图 (Unweighted Graph) vs. 带权图 (Weighted Graph)
关系的“强度”或“成本”是另一个核心区别。
我和你是朋友，这是关系的有无。但我们之间可能关系很好（亲密度90），也可能只是点赞之交（亲密度10）。
从北京到上海的航班，有的要2小时，有的要3小时，这个“时长”或“票价”就是关系的属性。
无权图 (Unweighted Graph)
-
定义：所有的边都被认为是等价的，没有量的差别。我们只关心顶点之间“是否”相连，不关心连接的“代价”是什么。
-
图示：上面讲的 图1 和 图2 都是无权图。
带权图 (Weighted Graph / Network)
-
定义：图中的每一条边都被赋予一个数值，这个数值被称为 权重 (Weight)。这个权重可以代表各种意义，如距离、时间、成本、容量等。
-
适用场景：需要考虑成本或度量的问题。例如：地图导航（距离或时间）、网络路由（带宽或延迟）。
图3️⃣：带权重的城市交通图 (单位: 公里)
我们把 图1 加上城市间的距离，它就变成了一个带权图。
1213(北京) --------- (上海)| /| / 14632123 | /| /(广州) --------- (武汉)1067这里的数字 1213, 1463 等就是对应边的 权重 (Weight)。
描述图的常用术语
为了方便地讨论和研究图，我们需要学习一些“行话”。这些术语都是基于上面最基本的定义演化而来的。
关于顶点的术语：度 (Degree)
一个顶点有多重要？一个直观的衡量标准就是看有多少条边和它相连。这个“相连边的数量”就是“度”。
在无向图中:
顶点的 度 (Degree) 就是指和该顶点相关联的边的数量。
在 图1 中:
-
Degree(北京) = 2 -
Degree(上海) = 2 -
Degree(广州) = 3 -
Degree(武汉) = 1
在有向图中:
因为边有方向，所以度的概念也需要细分。
-
入度 (In-degree): 指向该顶点的弧的数量（有多少箭头指向我）。
-
出度 (Out-degree): 从该顶点出发的弧的数量（我发出了多少箭头）。
-
度 (Degree) = 入度 + 出度。
在 图2 中:
-
In-degree(A) = 1,Out-degree(A) = 1,Degree(A) = 2 -
In-degree(B) = 1,Out-degree(B) = 1,Degree(B) = 2 -
... 以此类推，所有顶点的入度和出度都是1。
对于任何图，所有顶点的度数之和，等于边总数的两倍。
因为每一条边（无论有向还是无向）都有两个端点。当我们计算所有顶点的度数之和时，每一条边都会被它的两个端点各自计算一次。
所以，边的总数 |E| 和度数总和的关系是：Σ(Degree(v)) = 2 * |E|。不信你可以用上面的图1验证一下：(2+2+3+1) = 8，而边总数是4，正好是2倍。
关于顶点序列的术语：路径 (Path) 和 环 (Cycle)
我们研究图，很多时候是为了解决“从A点能不能到B点？”以及“怎么走？”的问题。这就引出了“路径”的概念。
路径 (Path): 从顶点 u 到顶点 v 的一条路径，指的是一个顶点序列 u, v1, v2, ..., v，其中序列中任意相邻的两个顶点之间都存在一条边。
路径长度 (Path Length): 路径上边的数量（对于无权图）或权重之和（对于带权图）。
在 图1 中，从“北京”到“武汉”的一条路径是：北京 -> 广州 -> 武汉。这条路径的长度是 2 (经过了2条边)。
环 (Cycle / Circuit): 如果一条路径的起点和终点是同一个顶点，那么这条路径就构成一个 环。
-
在 图1 中，
北京 -> 上海 -> 广州 -> 北京就是一个环。 -
在 图2 中，
A -> B -> C -> D -> A也是一个环。
关于图整体的术语：连通性 (Connectivity)
一个图是“一个整体”还是“几块分离的碎片”？这是描述图的整体结构的重要属性。
-
连通图 (Connected Graph): 这是针对 无向图 说的。如果一个无向图中，任意两个顶点之间都存在至少一条路径，那么这个图就是连通图。我们上面画的 图1 和 图3 都是连通图。
-
连通分量 (Connected Component): 如果一个无向图不是连通的，那么它可以被分成若干个独立的、内部连通的子图，每一个这样的子图就是一个连通分量。
-
强连通图 (Strongly Connected Graph): 这是针对 有向图 说的。如果一个有向图中，任意两个顶点
u和v，都既存在从u到v的路径，也存在从v到u的路径，那么这个图就是强连通图。我们上面画的 图2 就是一个强连通图。
图4️⃣：一个非连通图，它有两个连通分量
(A) --- (B) (E) --- (F)| | || | |(C) --- (D) (G)在这个图中，你无法从顶点A找到一条路径到达顶点E。{A, B, C, D} 和 {E, F, G} 分别是这个图的两个连-通分量。
简单 C/C++ 代码框架的思考
虽然我们还不涉及图的具体存储方式，但我们可以从概念出发，思考一下如果用C/C++来描述一个“顶点”和一个“边”，它大概会是什么样子。这是一个从概念到代码的初步映射。
第一步：定义顶点 (Vertex)
一个顶点最核心的信息可能就是它的编号或者名字。我们还可以给它附加一些数据。
// 为了简单，我们先用一个整数ID来唯一标识一个顶点
// 假设我们有一个顶点，它里面可以存储一些数据，比如城市的名称
struct Vertex {int id; // 顶点的唯一标识char* data; // 指向顶点存储的数据，比如 "北京"// ... 未来可能还会有其他信息
};第二步：定义边 (Edge)
一条边最核心的信息是它连接了哪两个顶点。如果是带权图，还需要一个权重。
// 定义一条无向、带权的边
struct Edge {int from_vertex_id; // 边的起点IDint to_vertex_id; // 边的终点IDint weight; // 边的权重// ... 未来可能还会有其他信息
};注意: 在无向图中，from 和 to 是可以互换的。在有向图中，方向是固定的。
第三步：组合成图 (Graph)
一个图就是一堆顶点和一堆边的集合。
// 一个最最基础的图的结构框架
#define MAX_VERTICES 100 // 假设最多有100个顶点
#define MAX_EDGES 1000 // 假设最多有1000条边struct Graph {Vertex vertices[MAX_VERTICES]; // 顶点数组Edge edges[MAX_EDGES]; // 边数组int num_vertices; // 当前图中顶点的数量int num_edges; // 当前图中边的数量
};这个代码框架非常初级，甚至可以说是简陋的，而且在实际使用中效率不高。但它很好地反映了我们前面学到的图的定义：G = (V, E)。一个 Graph 结构体，里面包含了一个顶点数组 V 和一个边数组 E。
我们今天先不深入这个代码，因为如何高效地表示和存储这些顶点和边，就是下一章 "图的表示 (Representation of Graphs)" 要解决的核心问题（例如邻接矩阵和邻接表）。
总结一下今天的内容
-
图是什么？ 图是用来描述“事物”（顶点）和“关系”（边）的数学模型，本质是多对多关系。
-
图的核心元素：顶点 (Vertex) 和 边 (Edge)。
-
图的重要分类：
-
按方向：无向图 (关系对等) vs. 有向图 (关系单向)。
-
按权重：无权图 (关系等价) vs. 带权图 (关系有代价/强度)。
-
-
图的关键术语：
-
度 (Degree)：衡量一个顶点的连接程度（有向图分入度和出度）。
-
路径 (Path)：连接两个顶点的顶点序列。
-
环 (Cycle)：起点和终点相同的路径。
-
连通性 (Connectivity)：衡量图的整体结构是否为一个整体。
-
你现在已经掌握了图的基本概念和思想。这是后续学习图的存储、遍历（如深度优先搜索DFS、广度优先搜索BFS）和各种算法（如最短路径、最小生成树）的基石。