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MTPA-最大转矩电流比控制解析

news 2025/11/7 9:46:18

基速下内嵌式永磁同步电机MTPA控制

1.转矩方程及两类电机区别
2.MTPA控制id推导
3.分析

1.转矩方程及两类电机区别

永磁同步电机转矩：

$Te=32p[ψfiq+(Ld−Lq)idiq]T_{e}=\frac{3}{2} p\left[\psi_{f} i_{q}+\left(L_{d}-L_{q}\right) i_{d} i_{q}\right]$
式中，p为磁极对数、 $ψf\psi_{f}$ 为永磁体磁链，iq，id分别为q轴和d轴电流，Ld和Lq分别为d轴电感和q轴电感
永磁同步电机（PMSM）根据制造工艺即将永磁体的放置位置的不同分为表贴式（SPMSM）和内嵌式（IPMSM），二者在转矩方程上不同在于：表贴式Ld=Lq=Ls，而内嵌式Ld<Lq。故而标贴式永磁同步电机转矩方程也可以写为：
$Te=32pψfiqT_{e}=\frac{3}{2} p\psi_{f} i_{q}$
而电流幅值为： $Is=id2+iq2I_s = \sqrt{i_d^2 + i_q^2}$

我们在控制电机时的目标为：尽可能以最小的电流来实现最大的转矩（调制算法用SVPWM而非SPWM也是这一思想：在现有条件下提高利用率）两类电机在FOC控制时通常采用不同的方法：

故对于表贴式永磁同步电机，因转矩只由iq构成，通常采用id = 0来控制来实现以最小的电流分量实现最大的转矩，此时电流幅值： $Is=id2+iq2I_s = \sqrt{i_d^2 + i_q^2}$ 为id
而对于内嵌式电机来说，因 $L_{d}<L_{q}$ ，故而当id=0时，转矩并不是最大的，我们可以使得 $i_{d}<0$ 实现在相对小增加电流幅值的基础上使得转矩最大

2.MTPA控制id推导

通过以上分析，很容易得知，要让内嵌式永磁同步电机实现最大转矩电流比控制，即问题转化为在给定转矩 $T_{e}$ 下，最小化电流幅值，这里需要用到拉格朗日乘数法（考研的都知道）：
构建函数：
$L(id,iq,λ)=id2+iq2+λ(Te−32p[ψfiq+(Ld−Lq)idiq])\mathcal{L}\left(i_{d}, i_{q}, \lambda\right)=i_{d}^{2}+i_{q}^{2}+\lambda\left(T_{e}-\frac{3}{2} p\left[\psi_{f} i_{q}+\left(L_{d}-L_{q}\right) i_{d} i_{q}\right]\right)$
上式对id和iq分别求偏导：
$∂L∂id=2id−λ⋅32p(Ld−Lq)iq=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial i_{d}} = 2i_{d} - \lambda \cdot \frac{3}{2}p(L_{d} - L_{q})i_{q} = 0 \quad$
$∂L∂iq=2iq−λ⋅32p[ψf+(Ld−Lq)id]=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial i_{q}} = 2i_{q} - \lambda \cdot \frac{3}{2} p\left[\psi_{f} + \left(L_{d} - L_{q}\right) i_{d}\right] = 0 \quad$
将上两个式子联立消去 $λ\lambda$ 得到：

$4iq3p(Ld−Lq)iq=4iq3p[ψf+(Ld−Lq)id]\frac{4 i_{q}}{3 p\left(L_{d}-L_{q}\right) i_{q}}\quad{}=\frac{4 i_{q}}{3 p\left[\psi_{f}+\left(L_{d}-L_{q}\right) i_{d}\right]}\quad{}$

进而： $id[ψf+(Ld−Lq)id]−(Ld−Lq)iq2=0i_{d}\left[\psi_{f}+\left(L_{d}-L_{q}\right) i_{d}\right]-\left(L_{d}-L_{q}\right) i_{q}^{2}=0$
将上式中iq是为常数，且考虑到上面分析中 $i_{d}<0$ 与电感物理关系（ $L_{d}<L_{q}$ ）则:
$id=ψf−ψf2+4(Lq−Ld)2iq22(Lq−Ld)i_{d} = \frac{\psi_{f} - \sqrt{\psi_{f}^{2} + 4(L_{q} - L_{d})^{2} i_{q}^{2}}}{2(L_{q} - L_{d})}$

> 注意：上式是在iq已知的情况下解出的id表达式

将该id值带入转矩方程： $Te=32p[ψfiq+(Ld−Lq)idiq]T_{e}=\frac{3}{2} p\left[\psi_{f} i_{q}+\left(L_{d}-L_{q}\right) i_{d} i_{q}\right]$
得到 $i_{q}$ 关于转矩最终表达式：

$iq=12A4ΔL2(−ψf+ψf2−4ΔL2+iψf+ψf2−4ΔL2)i_{q} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{A}{4 \Delta L^{2}}} \left( \sqrt{ -\psi_{f} + \sqrt{\psi_{f}^{2} - 4 \Delta L^{2}} } + i \sqrt{ \psi_{f} + \sqrt{\psi_{f}^{2} - 4 \Delta L^{2}} } \right)$
其中， $\frac{4 T_{e}}{3 p}$ 且 $ΔL=Lq−Ld\Delta L = L_{q} - L_{d}$

注：该方程需要解出四次方程，上述公式是AI推的，我也不知道正确与否

3.分析

在FOC控制仿真中，iq的给定通常是转速环的输出，故一种自然的想法是直接用转速环的输出当作iq来计算id，这可能是不正确的。更重要的是，转速环的输出也是转矩给定，故可以用转矩给定通过2中最后给出的公式计算 $i_{d}$

查资料得知，工程上常用的是通过查表法，即通过以下三步：
（1）离线计算：根据电机的参数（ψf, Ld, Lq），在不同的转矩指令下，计算对应的id和iq值，使得在给定转矩下电流幅值最小（即满足MTPA条件）。
（2）制作表格：将转矩指令作为输入，对应的id和iq作为输出，制作成一维表格。
（3）在线查询：在实际控制中，根据转矩指令（由速度环或转矩环输出）查表得到id和iq的参考值。

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http://www.dtcms.com/a/577933.html